Функция как математическая модель

Функция является одним из важнейших понятий в математике и как один из основных инструментов используется в других науках для изучения различных процессов, природа которых может быть различной, но математическая модель — функция — оказывается одинаковой.

Основные задачи, связанные с понятием «функция», которые решаются в школе:

• • математическая задача (описание свойств функции на основании формулы или на основании графика, построение графика и т. д.);
• • прикладная задача, решение которой состоит из нескольких этапов:
• — конструирование функции по сюжету,

исследование построенной функции (решение математической задачи),.

— интерпретация полученного результата.

В качестве примеров прикладных задач, решаемых в школе, можно привести задачи на наибольшее или наименьшее значение.

Напомним, что термин «функция» был введен Г. В. Лейбницем, а символьная запись у = f (x) — Л. Эйлером.

Сформулируем несколько определений понятия «функция», включенных в школьные и вузовские учебники.

Определение 3.1. Если каждому значению х из некоторого множества чисел X поставлено в соответствие единственное число г/, то говорят, что на этом множестве задана функция у (х). При этом х называют независимой переменной, а у — зависимой переменной, или функцией.

Определение 3.2. Говорят, что переменная у является функцией от переменной х> если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяет для каждого х однозначно определить значение у.

Определение 3.3. Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу единственное число у, зависящее от х.

Определение 3.4. Функцией f (x) называется правило, которое каждому элементу х из множества X ставит в соответствие единственный элемент у из Y.

Заметим, что, когда множество X — числовое множество, речь идет о функции числового аргумента, когда Y — числовое множество, то речь идет о числовой функции, когда оба эти множества числовые, то речь идет о числовой функции числового аргумента.

Независимо от того, какое определение функции мы используем, необходимо помнить, что принципиальной является возможность существования не более одного значения зависимой величины. Поэтому, например, уравнение у² = х не задает функцию у (х): каждому положительному значению х ставится в соответствие два противоположных значения у. Но оно задает функцию х (у): каждому значению у как независимой переменной ставится в соответствие ровно одно значение х как зависимой переменной. Таким образом, мы видим, что без уточнения, о какой зависимости идет речь, какая переменная рассматривается как зависимая, а какая как независимая, мы не можем говорить о том, задана функция или нет.

К основным элементарным функциям относятся степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.

Все функции, которые получены из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) и композиций, тоже являются элементарными.

Примеры неэлементарных функций: у = |*|; у = {*} — дробная часть числа; у = [х] — целая часть числа; различные функции, заданные кусочно и имеющие разрывы или переломы на границах промежутков области определения.

Теперь напомним известные способы задания функций:

• • табличный (нельзя задать непрерывную функцию, неограниченную функцию);
• • словесный (описанием);
• • аналитический (с помощью формулы). Здесь можно выделить:
  • — явное задание функции,
  • — неявное задание функции (в том числе параметрическое),
  • — кусочное задание функции;
• • графический (с помощью графика) (тоже не позволяет задать неограниченную функцию или функцию на неограниченной области определения).

Неявное задание функции. Наряду с уравнением вида у = f (x) мы можем задать функцию f (x) с помощью уравнения F (x, у) = 0. Если изменяется значение переменной х, то изменяется и значение переменной у. Например: уравнение ху - 1 = 0 задает функцию f (x). В этом случае переменную у можно явно выразить через х. Однако так бывает не всегда. Часто выразить переменную у через х бывает затруднительно и даже невозможно, например: (х²у + x) arctgz/ - Ay = 0.

Параметрическое задание функции. Функция может быть задана с помощью системы уравнений, содержащих некоторый промежуточный параметр:

Если изменяется переменная х, то изменяется значение параметра t, а это влечет за собой изменение переменной у.

Напомним основные свойства функций.

• 1. Область определения (область задания) функции.
• 2. Множество значений (область значений) функции.

Если мы выбираем определение понятия функции как переменной величины и рассматриваем зависимость, например, переменной у от переменной х, то множество значений, которые может принимать переменная х, называется областью определения функции у (х), а множество значений, которые может принимать переменная у, называется множеством значения этой функции.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 3.5.

Найдем систему ограничений, определяющих область определения функции: a) /W = |-log₂ б) /(*) = arccos (V2-Здг-х).

Решение

а) Обратим внимание на те ограничения, которые формируют область определения данной функции. Во-первых, выражение содержит корень четной степени, поэтому выражение, стоящее иод знаком корня, должно быть неотрицательным. Во-вторых, выражение содержит логарифм, поэтому выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным. В-третьих, решая неравенство для функции, стоящей под знаком логарифма, нельзя забыть о знаменателе, который не должен равняться нулю. Таким образом, получаем систему ограничений.

которую и решаем. Результат решения этой системы и является областью определения данной функции.

б) Для того чтобы найти область определения второй функции, вспомним, что функция арккосинус определена на отрезке [-1; 1]. Кроме того, выражение содержит корень четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Получаем систему ограничений.

которая и ограничивает область определения данной функции.

Пример 3.6.

Функция задана уравнением | у -11 + 3 = —. О какой функции идет речь? Выразим.

х

зависимую переменную и найдем область определения и множество значений этой функции.

Решение

Очевидно, во-первых, что функция, предложенная в данном примере, задана неявно, поскольку ни одна из переменных не выражена явным образом.

Во-вторых, проанализировав выражение, мы видим, что для каждого значения.

( П.

хе 0;— можно найти два значения для переменной у_У что не позволяет говорить о функции у (х).

Таким образом, попробуем рассмотреть функцию х (и): х = —_:-. Очевидно,.

| г/ — 11 -h 3.

что эта функция определена для всех значений переменной у_у т. е. область определения этой функции — все множество действительных чисел. Множество значений этой функции — интервал ^0;-^).

Ответ: (0;— |.

__.

Найдем множество значений функции /(х) = 4sin²2x- 2.

Решение

Функция у = sin2x принимает все значения из промежутка [-1; 1), и только их. Тогда функция у = sin²2x принимает все значения из промежутка [0; 1], и никаких больше.

Поэтому функция у = 4sin²2x принимает все значения из промежутка [0; 4], и никаких больше. Тогда данная функция/(х) = 4sin²2x- 2 принимает все значения из промежутка [-2; 2], и никаких больше.

Ответ'. [-2; 2].

Пример 3.8.

Найдем множество значений функции /(.г) = log₃(9 — х²).

Решение

Данная функция является сложной. Это композиция логарифмической и квадратичной функций. Внутренняя функция — квадратичная у = 9 — х², внешняя — логарифмическая g (t) = log₃?.

Множество значений функции у = 9 -х² — луч (-°о; 9|. Однако нужно рассматривать множество ее значений на отрезке [-3; 3]. Поэтому множество значений данной функции — луч (-(c)о; 2].

Ответ: 2].

Пример 3.9.

Зх-2 2-х Найдем множество значений функции /(х) =.

Решение

Рассмотрим данную функцию. Представим ее в виде.

Поскольку множеством значений функции g (x) =— является множество R {0},.

х — 2.

то множеством значения исходной функции является R {-3}.

Ответ'. R {-3}.

х + 2

Найдем множество значений функции f (x) = ——.

3-х¹

Решение

х + 2

Переформулируем задачу: при каких значениях параметра а уравнение— = я.

3-х¹

имеет решение.

х + 2

Теперь рассмотрим уравнение— = я с параметром а и переменной х и отве;

3-х¹

тим на сформулированный вопрос.

Преобразуем уравнение к квадратному:

Квадратное уравнение имеет решение при условии, что его дискриминант не меньше нуля, т. е. выполняется неравенство 1 — 4я (2 — За) > 0.

Решим это неравенство:

Решением данного квадратного неравенства является множество, представляющее собой объединение двух лучей: (— и —; + <�").

I 6J [2 )

Ответ: (-°о; — иs + °°|.

I 6j L2 J

3. Корни (нули) функции.

Определение 3.5. Число х₀ из области определения функции у = f (x) называется нулем (или корнем) этой функции, если f (x₀) = 0.

Таким образом, для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение f (x₀) = 0.

Найдем нули функции: а) у = jx² -.г — jx² -0,5; б) log₃(3-^v+г/) — 2 т + у — 1 = 0. Решение

а) Поиск корней данной функции можно начать с поиска ее области определения, но можно сначала решить соответствующее уравнение и проверить найденные корни. Так и поступим:

Решим второе уравнение: •jx²-х = jx'² -0,5. Возводя обе части этого уравнения в квадрат (это приводит к уравнению, равносильному на области допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения), получаем х¹ -х = х² - 0,5, или х = 0,5. Теперь нужно проверить, удовлетворяет ли полученное решение области определения нашей функции. Простая проверка показывает, что при х = 0,5 выражение под знаком первого корня меньше нуля, и поэтому найденное нами число не принадлежит области определения. Вывод, который мы получили: данная функция нулей не имеет.

6) Вторая функция задана неявно. В атом случае мы можем подставить у = О в данное уравнение и решить его относительно х: log₃(3^A' + 0) — 2х + 0 — 1 = 0, или.

log₃(3-^v) = 2х + 1. (*).

Используя известные вам методы решения логарифмических уравнений, получаем З²*'¹ = 3*, или 2х + 1 =х, решением которого является число х = -1. Поскольку областью определения уравнения (*) является любое действительное число, то найденное значение х нас устраивает. Вывод: функция обращается в 0 при х = -1.

4. Промежутки знакопостоянства.

Это промежутки, на которых функция сохраняет знак.

Заметим, что поиск промежутков знакопостоянства, как правило, сводится к поиску точек, в которых функция меняет свой знак (как правило, это ее нули и границы области определения), и расстановке знаков на найденных промежутках с помощью метода интервалов. В некоторых случаях можно воспользоваться некоторыми известными свойствами функций. Это особенно полезно, когда речь идет о сложных функциях.

Найдем промежутки знакопостоянства функции: а) у = arcsin (x² — х); б) у = _ V 2л; + 3 -х

х-4

Решение

• а) К выполнению данного задания можно подойти двумя разными способами.
• 1. Для определения промежутков знакопостоянства найдем нули нашей функции, а для этого решим уравнение arcsin (.r² — х) = 0, или х² - х = 0. Его решениями являются числа х= 0 и х= 1. Они разбивают числовую прямую на три промежутка:
• 0); (0; 1); (1; +°°). При дг = -0,5 получаем: arcsin ((-0,5)² — (-0,5)) = arcsin (0,75) > > 0. Таким образом, на самом левом промежутке функция имеет знак «+». Учитывая чередование знаков, получаем три промежутка знакопостоянства: на (-(c)о; 0) и (1; +°о) функция положительна, а на (0; 1) функция отрицательна. Но для окончательного решения необходимо найти область определения функции. Она, как вам известно, определяется двойным неравенством: -1 < х² - х < 1, решая которое, получаем: [l->/5 1 + 751

хе —-—;—-—. И окончательно промежутки знакопостоянства выглядят следующим образом: на -—— ;0 u (1; ^ ⁺ функция положительна, па (0; 1) функция.

2 /V 2 J.

отрицательна.

2. Знак функции у = arcsin (x² — х) определяется знаком выражения х² — х, поскольку знак функции арксинус совпадает со знаком ее аргумента. Поэтому для ответа на вопрос задачи требуется определить промежутки знакопостоянства функции у = х² - х на отрезке [-1; 1].

у/2х + 3 — д;

б) Знак функции у--зависит от знаков и числителя, и знаменателя.

х-4

Поэтому нужно найти точки, при которых происходит изменение их знаков. Для этого решим уравнения:

Решением второго уравнения является число х = 4. Решая первое уравнение, получаем: V2х + 3 =х, или 2х + 3 = х², решением последнего уравнения являются числа.

х = -1 и х = 3. Число х = -1 не является решением исходного уравнения V2х + 3 = .г, и это значит, что данная функция не изменяет знак в точке х = -1. Поэтому найденные две точки разбивают числовую прямую на три промежутка: (-; 3); (3; 4); (4; +°о). Теперь для определения знака подставим, например, число .г = 0. При этом значении наша функция отрицательна. Дальше ее знак изменяется в точке х = 3 (с «минуса» на «плюс») и в точке х = 4 (с «плюса» на «минус»). Учитывая область определения данной функции хе.

;3.

;4.

и (4; + °°), получаем окончательный ответ: при и (4; + °°) функция отрицательна и нрихе (3; 4) функция положительна.

5. Четность или нечетность функции.

Определение 3.6. Функция f (x) называется четной (нечетной), если для любого значения х независимой переменной из области определения функции выполняется равенство: f (-x) = f (x) (/(-х) = -f (x)). При невыполнении приведенных условий функция называется функцией общего вида.

Из этого определения следует, что необходимым условием четности или нечетности функции является симметричность ее области определения относительно нуля!

Исследуем на четность функцию /(х) = log₂(x + 1х² + 1).

Решение

Так как при всех х верно х + у/х² + 1 > 0, то область определения функции Z)(/) = R

симметрична относительно нуля. Сравним f (x) и /(-л):

Значит, функция /(х) = log₂(x + Vx² + 1) нечетная.

Ответ: функция нечетная.

Исследуем на четность функцию г/ = sin х+ — .

V.

Решение

Сравним у (-х) с у (х): г/(—л:) = sinI -х + — I Подставим вместо л: величину л:₍₎ = —.

V 6J 6.

Тогда#(лг₀) = sin— = — ,^(-^₀) = sin0 = 0. Таккаку{— Ф±у, Toz/ = sin х + — | —.

3 2 VbJ 1, 6J { 6J

функция общего вида.

Ответ: функция общего вида.

6. Периодичность.

Определение 3.7. Функция /(х) называется периодической, если существует такое число Т Ф 0, что для любого значения х независимой переменной из области определения функции выполняется равенство f (x + 7) = =/(*)?

7. Монотонность.

Определение 3.8. Функция f (x) называется монотонно возрастающей (монотонно убывающей) на промежутке (<а; Ь)^{, если для любой пары значений х_х и х₂ независимых переменных из этого промежутка выполняется следствие: х_х > х₂ =* f (x_{) > f (x₂) (х_{ > х₂=> f (x) < f (x₂)).

8. Экстремумы.

Определение 3.9. Точках₀ из области определения функции называется точкой максимума (минимума) этой функции, если существует такая окрестность (а; b) этой точки, что для любого х е (а; Ь) выполняется неравенство/(х₀) > f (x) (f (x₀) </(*))•.

Функции вообще очень широко применяются, например в экономической теории и практике. Простейшие линейные функции находят свое применение для решения не очень простых экономических проблем. Наряду с линейными функциями в экономике используются и другие функции: дробно-линейные; степенные и их частные случаи — квадратная и кубическая; показательные, логарифмические, а также функции, получаемые по определенному алгоритму с помощью рекуррентных соотношений и связывающие состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Приведем примеры функций, используемых в экономике.

Функция полезности (или функция предпочтений) отражает зависимость полезности (результата, эффекта) некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

Производственная функция отражает зависимость результата производственной деятельности от факторов, его обуславливающих.

Функция выпуска (является частным случаем производственной функции) выражает зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

Функция издержек (является частным случаем производственной функции) выражает зависимость издержек производства от объема продукции.

Функция спроса характеризует зависимость объема спроса на отдельные товары или услуги от различных факторов.

Функция потребления характеризует зависимость объема потребления отдельных товаров или услуг от различных факторов.

Функция предложения характеризует зависимость объема предложения отдельных товаров или услуг от различных факторов.

Поскольку большинство экономических явлений обусловлено действием не одного, а нескольких факторов, то для их исследования используются функции нескольких переменных.

Особое место среди этих функций занимают мультипликативные функции. Они позволяют представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, которое обращается в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.^[1]

Используются сепарабельные функции. Они дают возможность выделить влияние различных факторов переменных на зависимую переменную. Частный случай — аддитивные функции, которые представляют одну и ту же зависимую переменную как при суммарном, но раздельном воздействии нескольких факторов, так и при их одновременном воздействии.

Рассмотрим для примера функции спроса и предложения.

• [1] Данное обозначение используется, когда не имеет значения, принадлежат ли промежутку его концы, т. е. является ли промежуток интервалом, отрезком или полуинтервалом.