Логические операции над высказываниями и предикатами

Операции над высказываниями — это способы получения сложных высказываний из простых с помощью различных связок. Поскольку в логике главное внимание уделяется значению истинности высказывания, то при рассмотрении операций мы должны определить, в каких случаях из простых высказываний (при каких значениях их истинности) получится истинное или ложное сложное высказывание с помощью каждой из логических связок.

Первая из логических операций называется отрицанием (или инверсией).

Определение 4.4. Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, которое истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно. Оно обозначается —А и читается: «неверно, что А» или «не А».

Например, если высказывание А — «Антананариву — столица Сейшельских Островов», то —IА — «Антананариву не является столицей Сейшельских Островов». Первое высказывание — ложно (столица Сейшельских Островов — г. Виктория), а его отрицание — истинно.

Соответствие значений истинности сложного высказывания значениям истинности простого высказывания (простых высказываний) изображается с помощью таблиц истинности. Согласно определению таблица истинности для —А выглядит так:

Отрицание является единственной операций, когда для получения сложного высказывания достаточно взять одно высказывание. В остальных операциях сложное высказывание получается из двух простых.

Определение 4.5. Конъюнкцией высказываний А и В называется новое высказывание, которое истинно только в том случае, когда оба высказывания А и В истинны, в остальных случаях оно ложно. Она обозначается Л л Б^[1] и читается «А и В».

Например, конъюнкция двух высказываний: «Белые медведи живут в Арктике»; «Белые медведи хорошо плавают» — «Белые медведи живут в Арктике и хорошо плавают» — является истинной, так как оба простых высказывания истинны.

Таблица истинности конъюнкции следующая:

При изучении математики вы встречались с двойными числовыми неравенствами, хотя и не знали, что имеете дело с конъюнкцией двух числовых неравенств. Так, двойное неравенство -1 < 0 < 1 можно прочитать так: «-1 < <0 и ()< 1».

Определение 4.6. Дизъюнкцией высказываний Aw В называется новое высказывание, которое ложно только в том случае, когда оба высказывания А и В ложны, в остальных случаях оно истинно. Она обозначается Л v В и читается «А или В».

Например, высказывание «Я сегодня на второе выберу запеченную рыбу или куриный шницель» есть дизъюнкция высказываний: «Я сегодня выберу на второе запеченную рыбу» и «Я сегодня выберу на второе куриный шницель». При этом, какое бы из этих двух блюд я бы ни выбрал на второе, сложное высказывание (дизъюнкция двух данных высказываний) будет истинным.

Рассмотрим таблицу истинности дизъюнкции двух высказываний:

С дизъюнкцией высказываний вы также давно знакомы из школьного курса математики. Нестрогое числовое неравенство представляет собой дизъюнкцию строгого неравенства и равенства. Например, «5 < 6» читается «5 < 6 или 5 = 6», и если хотя бы одно из двух простых высказываний (в данном случае 5 < 6) истинно, то и все сложное высказывание истинно.

Нужно сказать, что в речи мы используем союз «или» в двух смыслах: исключающем и неисключающем. Например, в высказывании «При подготовке к семинару по истории мы используем учебник или подлинные документы» союз или используется в неисключающем смысле, так как мы можем использовать оба источника при подготовке к семинару. В высказывании «На первой паре в понедельник у нас будет английский язык или философия» союз или употреблен в исключающем смысле. Одновременно эти две дисциплины изучаться не могут, но по верхней или нижней неделе может изучаться каждая из этих дисциплин.

В математике союз или для операции дизъюнкции используется только в неисключающем смысле. Попробуйте объяснить это, опираясь на таблицу истинности дизъюнкции.

Определение 4.7. Импликацией высказываний А и В называется новое высказывание, которое ложно только в том случае, когда высказывание А истинно, а В ложно, в остальных случаях истинно. Она обозначается А —> В и читается «если А, то В» или «из А следует В».

Таблица истинности импликации:

В импликации А —" В высказывание А называется посылкой (или условием), а высказывание В — следствием {заключением).

Примером импликации может быть высказывание: «Если вечером пойдет дождь, то мы останемся дома».

В повседневной речи мы предполагаем, что высказывания, которые используются в импликации, содержательно связаны между собой и второе зависит от первого.

Для пояснения этого рассмотрим импликацию, которая приведена выше в качестве примера: «Если вечером пойдет дождь (Л), то мы останемся дома (В)». Представим себе ситуацию, когда нам очень хочется остаться дома. Теперь рассмотрим возможные значения истинности высказываний А и В:

• • дождь пошел ([Л] = 1), мы остались дома ([В| = 1) — случилось то, что должно было случиться;
• • дождь пошел ([Л] = 1), но мы дома не остались ([В] = 1) — случилось то, что не должно было случиться при сформулированных условиях;
• • дождь не пошел ([Л] = 0), но мы остались дома ([В] = 1) — результат для нас благоприятный, и в сложном высказывании не было ничего сказано, как поступить, если дождь не пойдет;
• • дождь не пошел ([Л] = 0), и мы не остались дома (|В| = 0) — хотя для нас это не очень желательно, но объективно понятно, что правильно.

Если рассматривать содержательную связь, то вызывает сомнение только третий случай, но нужно иметь в виду, что в импликации второе высказывание «сильнее» первого и по его значению истинности устанавливается в этом случае значение истинности всей импликации.

При этом в логике, как мы уже не раз подчеркивали, не предполагают содержательную связь высказываний. Важна только формальная связь, которая представлена в таблице истинности.

С импликацией вы также очень часто встречались при изучении математики в школе. Многие теоремы формулируются в виде импликации (или, говорят еще, в импликативной форме)¹. Например, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Признак подобия треугольников сформулирован в импликативной форме, но, конечно же, здесь между двумя высказываниями есть и содержательная связь.

Определение 4.8. Эквиваленцией высказываний А и В называется новое высказывание, которое истинно, когда оба высказывания принимают одинаковые значения истинности (г.е. либо оба истинны, либо оба ложны), и ложно, когда эти значения различны. Она обозначается А В и читается «А эквивалентно В» или «А тогда и только тогда, когда В».

Таблица истинности импликации:

Аналогично тому как определяются операции для высказываний, те же операции определяются для предикатов. Покажем это на операции конъюнкции.

Рассмотрим предикаты Р и Q. Пусть они зависят от одинаковых переменных^[2][3].

Определение 4.9. Конъюнкцией предикатов Р (х_{, х₂, х_п) и Q (x_{, х₂, х") называется предикат, который зависит от тех же переменных и обращается в истинное высказывание при тех и только тех значениях переменных, когда одновременно оба данных предиката становятся истинными высказываниями. Обозначается конъюнкция предикатов Р л Q (x^ х₂,…, х_п).

По аналогии с конъюнкцией определяются и другие операции над предикатами.

Для тех, кто интересуется математикой, предлагаем выделить условия, при которых высказывания, описанные логическими конструкциями /хР (х) и ЗхР (х), являются истинными или ложными. Для этого используйте понятия тождества и противоречия.

Особо следует остановиться на выполнении операции отрицания над высказываниями, которые получаются из предикатов с помощью кванторов.

Рассмотрим высказывание «существует котенок, который умеет лаять». Логическая формула этого высказывания выглядит так: ЗхР (х). При этом предикат Р (х) — «котенок х умеет лаять». При построении отрицания высказывания перед ним можно сказать «неверно, что …». Получим высказывание: «неверно, что существует котенок, который умеет лаять». Или «не существует котенка, который умеет лаять», что-то же самое, что «все котята не умеют лаять». Другими словами, мы получили следующую конструкцию: V. r-i Р (х).

Если предикат, который содержится в этом высказывании, обозначить QO), го исходное высказывание можно записать в виде логической конструкции VxQ (x), а его отрицание «существует котенок, который не умеет лаять» можно записать так: 3x—*Q (x).

Другими словами, на этих примерах мы увидели, как строится отрицание высказывания с квантором: во-первых, нужно поменять квантор (с всеобщности на существование и наоборот); во-вторых, построить отрицание предложения, которое описывает соответствующий предикат.

• [1] Вы можете встретить в литературе и другой значок для обозначения конъюнкции — &, а саму конъюнкцию могут называть логическим умножением. Посмотрите на таблицу истинности конъюнкции и объясните, почему возможно такое название.
• [2] Другой формой, в которой может быть сформулирована теорема, является категорическая форма. Примером такой формулировки может быть теорема о свойстве диагоналейромба: диагонали ромба перпендикулярны.
• [3] В дальнейшем мы всегда будем рассматривать такие предикаты.