Уравнения Навье-Стокса и проблема моделирования турбулентных течений над шероховатой поверхностью

Рассмотрим систему уравнений, описывающую неизотермическое атмосферное течение несжимаемого газа с учетом сил плавучести и переноса инертной примеси, имеем [5−15].

алгоритм нелинейный уравнение рейнолдс.

(1).

Здесь обозначено: — плотность воздуха; - вектор скорость потока; - кинематическая вязкость; - давление за вычетом гидростатического атмосферного давления; - вектор ускорения свободного падения; - равновесная плотность; - температура, — число Прандтля; массовая концентрация примеси; - число Шмидта; - коэффициент молекулярной диффузии.

Гидростатическое уравнение и стандартное приближение Буссенеска для возмущений плотности заданы в виде.

(2).

Здесь — коэффициент расширения, для идеального газа.

Определим систему декартовых координат таким образом, чтобы ось была направлена против направления вектора ускорения свободного падения. Рельеф обтекаемой поверхности описывается уравнением. Граничные условия для параметров течения зададим на обтекаемой поверхности и на границе пограничного слоя следующим образом:

(3).

Здесь — температура подстилающей поверхности, — концентрация примеси на поверхности, — высота пограничного слоя, — скорость течения на высоте , — температура и концентрация примеси на высоте соответственно.

По координатам зададим периодические граничные условия. Считаем, что в начальный момент скорость течения, температура и концентрация примеси описываются линейными функциями, имеем.

(4).

Решения задачи (1) — (4) для различных турбулентных течений были получены в наших работах [7−15] и других. Практически при любой функции распределения шероховатости течение довольно быстро переходит в турбулентный режим с установлением логарифмического профиля скорости, температуры и концентрации примеси Этот факт, установленный во многих исследованиях, показывает, что природа изобрела наиболее экономичный способ движения в форме логарифмического профиля. Однако если логарифмический профиль подставить во второе уравнение (1), то можно убедиться, что это уравнение не выполняется. Такой результат означает, что в природе существуют силы, которые поддерживают логарифмический профиль, но которые не нашли отражения в уравнениях (1). Обычно происхождение этих сил приписывают так называемым напряжениям Рейнольдса, обусловленным турбулентной вязкостью или диффузией.

Обратимся к методу решения проблемы турбулентной диффузии, который был предложен в наших работах [5−11]. Основная идея заключается во введении в уравнения (1) случайных параметров. Например, в пограничном слое можно представить вектор скорости течения в форме, где — это поверхность, описывающая динамическую шероховатость [5−11].

Предполагается, что такую поверхность можно характеризовать случайными параметрами, которые имеют смысл высоты, скорости движения элемента и наклонов поверхности. Обозначим функцию распределения этих параметров .

Предположим, что и рассмотрим достаточно представительную область течения объемом, где — типичные масштабы течения в направлениях x, y соответственно — рис. 1. Рассмотрим подобласть течения, которая принадлежит рассматриваемой области течения, и в которой случайные параметры изменяются в интервалах ,.

В общем случае подобласть является многосвязной областью, объем которой задается уравнением.

.

Случайная амплитуда скорости может быть определена путем суммирования выражения в объеме :

(5).

Здесь — произвольный объем, вложенный в и содержащий. Очевидно, что является случайной функцией, поскольку зависит от случайных параметров. Уравнения, описывающие динамику, следуют из уравнений (1) и (5), а их вывод дан в [3−5].

Статистический момент порядка случайной функции определяется следующим образом.

(6).

В результате применения указанных преобразований система уравнений (23) принимает вид [7−10]:

(7).

Здесь, .

Отметим, что фигурирующая в уравнениях (7) турбулентная вязкость пропорциональна квадрату расстояния до шероховатой стенки. Система уравнений (7) имеет установившееся решение в форме логарифмического профиля, как для скорости, так и для температуры и концентрации [7].