Распределение скоростей при произвольном движении твердого тела. 
Угловая скорость твердого теда. 
Простейшие движения твердого тела: поступательное движение, вращение вокруг неподвижной оси

Согласно определению 0.2 твердым телом называется система материальных точек, расстояния между которыми не изменяются в процессе движения. Отсюда следует, что с твердым телом можно связать систему координат Сх₍х₂х₃, относительно которой все точки твердого тела будут неподвижны. Радиус-вектор произвольной точки М твердого тела.

где Г — оператор перехода от системы координат CX|XjX₃ к неподвижной системе координат 0^₂5э, ^а г = СМ = ?х, е, в системе.

J-I.

координат CxjXjXj. Проекции вектора г на оси Сх, Сх₂, Сх₃ равны X, х₂, х₃ соответственно и постоянны. После дифференцирования равенства (4.1) с учетом леммы о производной ортогонального оператора получим.

Вектор со в системе координат Сх! х₂х₃ и ему соответствующий вектор П = Го в системе О; i^₃ называется угловой скоростью твердого тела. Векторное равенство (4.2) в неподвижной и подвижной системах координат имеет вид.

Соотношение (4.3) называется формулой Эйлера и задает распределение скоростей точек твердого тела. Точка С — начало подвижной системы координат — называется полюсом.

Рис.З Рис. 4.

Отметим свойство ортогональных операторов: Г[а, Ь] = [Га, ГЪ| для любых а, b € ?³.

Л. Угловая скорость твердого тела не зависит от выбора начала подвижной системы координат и ее ориентации.

А Пусть С₁у₁у₇у₃ ~ еще одна система координат, жестко связанная с телом, и.

где Г, — оператор перехода от системы координат C_]y_]y₇y_i к системе Сх_]х₂х_у Вектор г, задан в системе координат С, у, у2У3″ оператор Г, не зависит от времени. Тогда _м = У_С) + Г (Г" ^|Г)Г, г, = У_{С (} + Г[а>, Г, г,), где V_C) = R_c + СС, — скорость нового полюса. Далее, V_W = V_C) + + QxR = V_Ci + ГГ,[о>|, r,|, R = ГГ, г, П = Гео, со, = Г," ^,со. Отсюда следует, что угловая скорость твердого тела не зависит от выбора подвижной системы координат и является в этом смысле инвариантной характеристикой движения твердого тела. ?

0.4.1. Говорят, что твердое тело движется поступательно, если на всем интервале времени его угловая скорость равна нулю.

В этом случае оператор Г постоянен и ориентация подвижного репера Сх,*^ относительно неподвижного з ^не меняется.

Все точки твердого тела имеют одну и ту же скорость: _м = _с для любой точки М твердого тела.

0.4.2. Говорят, что твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, если в процессе движения две точки твердого тела О и С неподвижны.

Выберем подвижную и неподвижную системы координат так, чтобы точки О и С лежали на осях 0?₃ и Ох_у Оси 0^₃ и Ох_г совпадают, а угол между осями 0^_х и Ох, равен <�р (/). Собственно движение и состоит в изменении угла ср. Тогда.

Угловая скорость со направлена по оси Ох_ъ и равна ф. Каждая точка твердого тела описывает окружность с центром на оси Ох_у а ее скорость в системе Ох_хх^с₃ равна у_м= ф [е₃, г) = ф (—jc₂e_f + xfo), где ^хь ^х2> ^хз — координаты точки М e_h е₂, е₃ — орты осей Ох_ь Ox_2t Ох_у