Непрерывное движение твердого тела. 
Аксоиды

Рассмотрим теперь не мгновенную картину распределения скоростей точек твердого тела, а его непрерывное движение во времени. Уравнение (5.1) представим в виде Отображение (6.1) определяет в трехмерном пространстве линейчатую поверхность—неподвижный аксоид, которую заметает ось мгновенно-винтового движения. Предполагается, что на рассматриваемом интервале времени П (/) ф 0. Другая линейчатая поверхность —подвижный аксоид, определяется из уравнения (5.2) в виде.

Уравнение (6.2) задано в подвижной системе координат и, следовательно, подвижный аксоид жестко скреплен с движущимся телом. В каждый момент времени поверхности (6.1) и (6.2) имеют общую прямую мгновенную винтовую ось.

Т. Подвижный и неподвижный аксоиды касаются в каждый момент времени, и движение твердого тела представляется как качение подвижного аксоида по неподвижному с проскальзыванием вдоль общей образующей мгновенной винтовой осью.

? Необходимо показать, что подвижный и неподвижный аксоиды имеют общую касательную плоскость. Введем в рассмотрение точку АГ, принадлежащую винтовой оси, радиус-вектор которой в неподвижной системе координат задается формулой (6.1) при дополнительном условии X = Х (/), где Х (/) — произвольная дифференцируемая функция. Точка К движется по неподвижному аксоиду, а значит, ее абсолютная скорость принадлежит касательной плоскости к неподвижному аксоиду.

Свяжем подвижную систему координат с телом и применим теорему сложения скоростей для вычисления абсолютной скорости точки К. Имеем _п = V, + V_r. Переносная скорость V, равна скорости точки Л/, принадлежащей твердому телу и совпадающей в данный момент времени с точкой К, т. е. равна скорости точки, лежащей на винтовой оси. Относительная скорость V_r принадлежит касательной плоскости к подвижному аксоиду, так как относительное движение осуществляется по кривой на подвижном аксоиде. Касательные плоскости к двум аксоидам в точке К пересекаются по винтовой линии, на которой лежит вектор _е. Тогда из равенства _а = V, + _г вытекает, что касательные плоскости совпадают, поскольку все три вектора V_fl, V_r, V_r лежат в одной плоскости — общей касательной плоскости к двум аксоидам.

Общая касательная плоскость к двум аксоидам изменяет с течением времени свое положение в пространстве в результате качения одной поверхности по другой. При этом проскальзывание осуществляется только вдоль общей образующей — мгновенной винтовой оси. ?