Задачи. 
Теория автоматического регулирования

8.1. Определить устойчивость по линейному приближению относительно всех точек равновесия системы.

8.2. Определить устойчивость по линейному приближению относительно всех точек равновесия системы.

8.3. Определить устойчивость системы по линейному приближению относительно одного из состояний равновесия:

8.4. Определить устойчивость системы по линейному приближению относительно одного из состояний равновесия при и = 1:

8.5. Определить устойчивость по линейному приближению относительно всех точек равновесия системы при и = 2:

8.6. Определить устойчивость системы, уравнения состояния которой имеют вид.

с помощью следующей функции Ляпунова: V (x) = х,² + х|.

8.7. Определить устойчивость системы, уравнения состояния которой имеют вид

(з (О с помощью следующей функции Ляпунова: V (x) = х’Вх, где V (x) = .

8.8. Определить устойчивость замкнутой системы вторым методом Ляпунова, если известна передаточная функция разомкнутой:

Рис. 8.8. Структурная схема системы к задаче 8.9.

8.9. С помощью функции Ляпунова V (x) = 5х,² + х, х₂ + 2х² исследовать устойчивость системы, структурная схема которой приведена на рис. 8.8.

8.10. Решая матричное уравнение Ляпунова, проверить устойчивость системы, математическая модель которой имеет вид

8.11. Решая матричное уравнение Ляпунова, проверить устойчивость системы, математическая модель которой имеет вид.

8.12. Вторым методом Ляпунова проверить устойчивость системы (рис. 8.9), если:

a"W_p4−2^H^)-3^T^;

6) ВД — «w_{l (p)} —

Рис. 8.9. Структурная схема замкнутой системы к задаче 8.12.

8.13. Вторым методом Ляпунова определить устойчивость системы, уравнения которой имеют вид:

8.14. С помощью функции Ляпунова V (x) = 0,5(3лг,² — 2x_tx₂ + х₂) проверить устойчивость системы, математическая модель которой имеет вид.

8.15. Определить устойчивость системы, структурная схема которой представлена на рис. 8.10.

Рис. 8.10. Структурная схема системы для примера 8.15.

• 8.16. Проверить условие абсолютной устойчивости системы (рис. 8.11):
  • а) с однозначной нелинейной характеристикой и =/(А), 0 </(А) < ЗА, ес6) с однозначной нелинейной характеристикой и =/(А), 0 < /(А) < 0,5А,
• 2

р³ + р² + Зр + 1.

если W₄(p) =

Рис. 8.11. Структурная схема нелинейной системы к задачам 8.16, 8.17.

8.17. Проверить условие абсолютной устойчивости системы (см. рис. 8.11), если:

a) W_;l(p) = -— _е,_ч/—777—777, а однозначная нелинейная характерис;

• (р + 5)(р + 2)(р + 1) тика имеет вид, изображенный на рис. 8.12, а, где С = 5;
• 2
• б) 1У_ч(р) = —7— -, а однозначная нелинейная характеристика

/;(р- + эр + 4).

имеет вид, изображенный на рис. 8.12, б, где С = 10, й = 2; _ч 10(р+ 1).

• в) W (p) = —-? -——а однозначная нелинейная характсрис-
• (Р+ 1)(р² + 6р+ 1)

тика имеет вид, изображенный на рис. 8.12, б, где С = 2, Ъ = 0,5;

• 5
• г) W (р) = —-? —77—, а однозначная нелинейная харакгеристи-
• (р + 3)(/9² + р + 10)

ка имеет вид, изображенный на рис. 8.12, в, где С = 3.

Рг/с. <5.12. Статические нелинейные характеристики к примеру 8.17.