Уравнения аппеля для неголономных систем. 
Задача о движении конька

В предыдущем параграфе была получена система п+ т уравнений (21.1), (21.4), описывающая движение механической системы с неголономными связями и содержащая неопределенные множители Лагранжа X…… Движение системы может быть описано.

п-т динамическими уравнениями относительно переменных 9i,q" и уравнениями связей (21.1).

Используя соотношения (21.3), выразим часть зависимых возможных перемещений б?, … hq_m через возможные перемещения 5^_я,|, …, бq_n, предположив, не нарушая общности, отличным от нуля определитель.

Представим уравнения (21.3) в виде.

Вариации 6q_m, «произвольны, а вариации 6q, _m согласно (22.1) равны.

Вариационный принцип Д’Аламбера—Лагранжа для системы с неголономными связями представим в виде

где 5q, …, bq_n связаны соотношениями (22.2). Заменяя 5q, _m через независимые вариации 6q_m+1 «, представим (22.3) в виде.

П.

Здесь согласно (22.2) bq_k = ^l_krf>q_г, к = 1,… т . Продиффе;

r-m+1.

ренцируем по времени уравнения связей (21.1) и получим

Рис. 54 Рис. 55.

Отсюда следуют равенства.

Воспользовавшись равенствами (22.5). представим принцип Д’Аламбера—Лагранжа в виде.

Поскольку вариации 8q_r, r=m+1…п. независимы, то выполняются условия.

Обозначим через.

и получим уравнение Аппеля для неголономных систем.

Уравнения (22.6) совместно с т уравнениями неголономных связей (21.1) образуют полную систему п дифференциальных уравнений относительно функций q_h …, q" и их производных.

В качестве примера рассмотрим задачу о движении фигурного конька по горизонтальной плоскости. Конек будем считать твердым телом, центр масс которого точка С совпадает с центром конька и имеет скорость V_c. направленную вдоль лезвия конька А В (рис. 55). Кроме того, конек может поворачиваться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр масс С. Уравнение неголономной связи, выражающее условие коллинеарности векторов _с —?

и АВ, имеет вид.

где х, у — координаты центра масс С, <�р — угол поворота конька вокруг вертикали. Найдем энергию ускорений 5, воспользовавшись формулой Ривальса для ускорений точек твердого тела (см. § 2.10). Имеем.

Здесь Q — область, занимаемая твердым телом, ц — мера, связанная с распределением масс в теле, г, г_с — радиусы-векторы произвольной точки тела и центра масс, <�о = ере, е_г — орт вертикальной оси, р = г — г_с. Так как в дальнейшем при вычислении левой части уравнений Аппеля (22.6) важна только зависимость энергии ускорений S от обобщенных ускорений х, у, ф, то представим 5 в виде.

где точками обозначены члены, не зависящие от ускорений. Здесь т — масса тела, J — момент инерции тела относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс С. При вычислении интегралов в (22.8) учитывались равенства.

Выберем в качестве независимых вариаций 6ф и 5х, выразив вариацию 6у через Ьх при условии со$ф * 0 в виде 5у = 6х tgф. Продифференцировав условие связи (22.7), получим.

X Sinv — у COS9 + хф СОБф + уф БШф = 0.

Энергия ускорения S* равна.

Поскольку обобщенные силы Q_x=Q_y = ?)" = 0, то Q' = Q* = 0. Уравнения Аппеля примут вид.

Уравнения (22.9), (22.7) образуют систему дифференциальных уравнений, описывающую движение конька. Исключая у из первого уравнения системы (22.9) с помощью соотношения (22.7), получим уравнение.

из которого с учетом второго уравнения системы (22.9) найдем.

Тогда у = 1>₀ sin <�р и х = а + t>₀to^_l sin q>, у = b — и₀<�я~' cos.

Здесь l>₀ — начальная скорость центра масс конька, ш — начальная угловая скорость вращения конька вокруг вертикали. Конек описывает окружность с центром в точке с координатами (а, b) и с радиусом ц₀<�о''. Угловая скорость конька ф постоянна, а движение центра масс С происходит по окружности с постоянной скоростью.