Примеры расчета на вибрационную нагрузку

Пример 2.4. Вначале продемонстрируем процедуру динамического расчета на примере статически определимой системы (рис. 2.13, а). Исходные данные: F (t) = 0,4 sin Or кН; M (t) = 0,6sin0r кН м; El, = 2000 кН м²; EI₂ = 1,5?/,.

Решение

Частота возмущающих сил задана в долях от низшей частоты свободных колебаний, т.с. О = 0,75(0,. Таким образом, предварительно необходимо определить частоты свободных колебаний. Рассматриваемая система имеет две степени свободы. Запишем для нее характеристическое уравнение (2.7):

Рис. 2.13. Эпюры к динамическому расчету рамы.

Пример 2.5. Построим эпюру изгибающих моментов от вибрационной нагрузки в раме, показанной па рис. 2.14. Исходные данные: EI = 125 кН-м²; 0 = 10 с¹; /и, = 0,204 т; т₂ = 0,102 т; F_{(t) = 2sin0?; F₂(t) = l, 2 $in0f.

Рис. 2.14. Построение эпюр от единичных сил в заданной статически неопределимой системе.

Решение

Число степеней свободы рассматриваемой системы равно двум. Решение задачи начинаем с определения частот свободных колебаний. Уравнение (2.7) для рассматриваемой системы имеет вид

Для определения перемещений 8_П, б₁₂, 6₂₁ и 6₂₂ необходимо в заданной системе построить эпюры изгибающих моментов М, и М₂ от единичных сил, приложенных по направлению возможных перемещений масс т_л и т₂ (рис. 2.14, в, г). Заданная система является статически неопределимой. Степень статической неопределимости п = ЗК — Ш = 5, а, но методу перемещений имеются только два неизвестных угла поворота, поэтому для раскрытия статической неопределимости воспользуемся методом перемещений. Основная система метода перемещений показана на рис. 2.14, б.

Построим эпюру изгибающих моментов М, от единичной силы, приложенной по направлению колебания первой массы. Запишем систему канонических уравнений метода перемещений:

Для определения коэффициентов при неизвестных и свободных членов в основной системе построим эпюры М,° и М₂ от единичных перемещений, задаваемых последовательно по направлению дополнительных связей (рис. 2.14, д, е), а также эпюру от F, = 1 (рис. 2.14, ж). Вырезая узлы и составляя уравнения равновесия, вычислим:

Подставим полученные значения реакций в канонические уравнения и, решая их, найдем величины углов поворота Z, и Z₂:

Эпюра изгибающих моментов М, = M^Z, + M₂Z₂ + показана на рис. 2.14, з. Следующей построим эпюру изгибающих моментов М₂ от единичной силы, приложенной в направлении колебания второй массы. В приведенной выше системе канонических уравнений изменятся только свободные члены. Обозначим их через R_jP а неизвестные — через У

Для определения свободных членов в основной системе метода перемещений построим эпюру Мр₂ от F₂ = 1 (рис. 2.15, а). Получим R_[F= 0; R_2F = -1,125. Решим систему уравнений:

Эпюра изгибающих моментов М₂ = М_ХУ_Х + М₂У₂ + М}?₂ приведена на рис. 2.15, б. С целью упрощения вычислений перемещений 5_П, 6₁₂ и 6₂₂ построим эпюры изгибающих моментов M_v М₂ от F, = 1 и F₂= 1 в статически определимой системе, полученной из заданной путем удаления лишних связей (рис. 2.15, в, г). Получим.

Рис. 2.15. Построение эпюры моментов от вибрационной нагрузки.

Подставим эти коэффициенты в характеристическое уравнение:

Раскрывая определитель, получим квадратное уравнение относительно А-:

Корни этого уравнения: А, = 0,399; А₂= 0,101.

Используя формулу (2.9), определим частоты:

Далее выполним расчет на вибрационную нагрузку. Максимальные значения сил инерции определим из системы уравнений (2.20). Для данной задачи:

Чтобы определить свободные члены 5_1/; и б_2Р нужно построить эпюру изгибающих моментов в заданной системе от амплитудных значений вибрационных сил. С этой целью на основании принципа независимости действия сил можно использовать уже построенные эпюры М, и М₂. Поскольку линии действия внешних сил совпадают с линиями действия единичных сил, то достаточно умножить эпюры М_х и М₂ на амплитудные значения заданных сил и сложить их, т. е. M_F = Л/, • 2 + Л/₂-1,2.

Результат приведен на рис. 2.15, д. Теперь по формуле Мора определим свободные члены, по-прежнему используя эпюры М_] и М₂:

В численном виде уравнения (2.20) примут вид.

Решая эту систему уравнений, получим /, = 1,098 кН; J₂ = 0,019 кН.

Эпюра максимальных изгибающих моментов от вибрационной нагрузки М._|11Н = MJ_X + M₂J₂+ M_F приведена на рис. 2.15, е. Штриховой линией показаны те же значения, но с другим знаком, что имеет место при колебаниях. Полученные значения изгибающих моментов в конечном итоге суммируются с моментами от статической нагрузки. И только после этого уже оценивается прочность конструкции. Более детально вопросы сочетания нагрузок излагаются в СИиП.

Пример 2.6. Выполним динамический расчет рамы, представленной на рис. 2.16, а. Исходные данные: EI = 50 000 кН • м²; т = 1,2 (кНс²)/м²; F (t) = lsin9? кН.

Рис. 2.16. Замена распределенной массы сосредоточенными массами и выбор основной системы метода сил.

Решение

Заменим распределенную массу сосредоточенными массами (рис. 2.15, в). Несмотря на го что система имеет два неизвестных, но методу перемещений, тем не менее статическую часть задачи выполним методом сил, гак как для этой цели имеется программа на ЭВМ. Основная система метода сил и расчетные сечения показаны на рис. 2.16, в.

Эпюры моментов от единичных неизвестных показаны на рис. 2.17, а — г. На рис. 2.17, д — и приведены эпюры в основной системе от единичных сил, приложенных по направлению колебания масс. Эпюра от амплитудных значений динамической нагрузки представлена на рис. 2.17, к. Задачу решим в матричной форме с помощью системы MATLAB (см. приложение 1.2; там же как образец набора матриц в системе MATLAB приведены исходные матрицы).

Ниже из результатов расчета выпишем лишь частоты собственных колебаний:

и матрицу моментов от динамической нагрузки: р' = (-1,135; 0,531; -0,531; -1,201; 1,201; 1,652; -1,780; 0,399; -0,399; -2,607; 0,127; -0,531; 0,531; -1,135) кН м.

По приведенной матрице на рис. 2.16, г построена матрица изгибающих моментов от динамической нагрузки. Там же в скобках показаны значения изгибающих моментов от статического приложения амплитудных значений сил, взятых из матрицы S_P Из-за близости частоты возмущающих сил к первой частоте свободных колебаний расхождение в значениях моментов получилось весьма значительным.

Следует отметить, что в отличие от случая свободных колебаний при колебании от вибрационной нагрузки уже можно определить амплитуды колебаний. Например, для рассматриваемой рамы по формуле Мора легко вычислить максимальное горизонтальное смещение ригеля:

что значительно меньше нормативного значения.

Рис. 2.17. Эпюры моментов в основной системе метода сил Пример 2.7. Построим эпюру динамических усилий для стержневой системы, показанной на рис. 2.18, а.

Исходные данные: т_л = 4 т; Е = 5? 10⁶ кН/м²; / = 2,15 • 10 ³ м⁴; F (t) = 6sin0/ кН. Зададим частоту возбуждающих колебаний 9 = 0,8(0,. Система имеет одну степень свободы. Решение

Составим уравнение для определения силы инерции:

Построим эпюры М, и Л/_гт (рис. 2.18, б, в). Из них получаем.

динамической нагрузки Определим частоту свободных колебаний:

Рис. 2.18. Построение эпюры.

Подставим полученные значения в уравнение и определим J, = 16 кН.

Эпюра строится по формуле М_тп = Л/,/, + М_сг Ее вид приведен на рис. 2.18, г.

Для решения примера 2.7 можно использовать выводы, приведенные в гл. 1. С этой целью заданную нагрузку следует заменить фиктивной силой Е_ф. Последняя легко определяется из следующих соображений. Рассмотрим два состояния системы, в которой нагрузка приложена помимо массы (рис. 2.19). Очевидно, что Д_1;; = Е. б,. Отсюда Е_ф = Д_1Я/8_И.

Рис. 2.19. Определение фиктивной силы Определим силу инерции для рассмотренного примера:

Функция перемещений дана выражением (1.32). Вторая производная по времени от (1.32) и сила инерции имеют вид.

Максимальная сила инерции будет при sinO? = 1:

Получили тог же самый результат. Эпюра моментов от динамической нагрузки строится так же, как и выше, т. е. М_дин = Л/, У, + М_гт.

Упражнение 2.3. Определите угловые частоты свободных колебаний и постройте эпюру изгибающих моментов от вибрационного момента, приложенного в узле, для рамы, изображенной на рис. 2.20. Исходные данные: EI =.

ГР7.

= const; т, = от₂; M (t) = 4sin0t; 0 = 0,17./—.

V т

Рис. 2.20. Статически определимая система с двумя степенями свободы.