Теорема Коши. 
Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление

Рассмотрим теперь интегралы от (однозначных) аналитических функций. Важную роль играет следующая теорема.

Теорема 16.1 (теорема Коши для односвязной области). Пусть функция f (z) аполитична в односвязпой области D. Тогда для любого замкнутого контура Г, лежащего в D. J f (z)dz = 0.

г Доказательство. Для краткости мы проведем доказательство при дополнительном предположении, что производная f'(z) непрерывна в D. В силу равенства (15.3) для выполнения условия f f (z)dz = 0 необходимо и достаточно, чтобы г.

Напомним, что если Р (х, у) и Q (x, y) — непрерывные действительные функции в односвязной области D. имеющие в D непрерывные частные производные первого порядка, то равенство

равносильно следующему условию:

(см., например, |7, т. 2. Гл. XV, § 4]). Применительно к интегралам из (16.1) условие (16.2) имеет вид.

(непрерывность частных производных функций и и v вытекает из непрерывности f'(z)). Но условия (16.3) совпадают с условиями Коши-Римана (6.4), которые выполнены в силу предположения о том, что функция f (z) является аналитической в D. Таким образом, справедливы равенства (16.1), а значит, и равенство f f (z)dz = 0, что и г.

требовалось доказать.

В § 18 будет показано, что справедливо также утверждение, обратное теореме 16.1 (теорема Морера).

Заметим, что если функция f (z) является аналитической в замкнутой односвязной области D, то в качестве Г можно взять также границу этой области.

Рассмотрим теперь обобщение теоремы Коши на многосвязные области. Пусть D — п-связная область, граница которой состоит из внешнего контура Г] и внутренних контуров Г-2, • • •, Г".

Теорема 16.2 (теорема Коши для n-связной области). Предположим, что функция f (z) аполитична в замкнутой п-связной области D. Тогда интеграл от f по границе области D равен нулю; при этом предполагается, что обход граничных кривых проводится в таком пащтвлепии, чтобы область D оставалась слева.

Доказательство. Пусть, например, D трехсвязная область, ограниченная контурами Гх, Г-2, Гз (рис. 32). Разрежем область D по дугам АВ и СЕ. т. е. удалим из D все точки этих дуг. В результате получим односвязную область D^x, граница Г* которой.

состоит из контуров Г1, Г₂, Г3 и дуг АВ и СЕ. При обходе этой границы контуры Г1, Г-2, Гц проходятся однократно, а дуги АВ и СЕ — дважды в противоположных направлениях. Поскольку область D* односвязна, то в силу теоремы 16.1 интеграа по ее границе Г* равен нулю, а в силу свойства 2° интеграл по Г* распадается на сумму интегралов по участр_ис Д2 кам, составляющим Г*. Поэтому.

Согласно свойству 3° интегралы по АВ и В А (и, аналогично, по СЕ и ЕС) отличаются лишь знаками и поэтому сокращаются. Получаем.

что и требовалось доказать.

Теорему 16.2 можно сформулировать в следующей форме.

Теорема 16.2*. Если функция f (z) аполитична, а замкнутой п-соязпой области D и осе граничные контуры Ti,…, Г_п обходятся в одном и том же направлении, то

где — внешний контур, охватывающий остальные.

Доказательство сразу получается из формулы (16.4), если у контуров Г₂,…, Г_П (или у контура Гj) изменить направление обхода на противоположное и перенести соответствующие интегралы в другую часть равенства (16.4).

Теорема 16.1 эквивалентна следующему важному свойству независимости интеграла f f (z)dz от пути интегрирования.

г Следствие 16.3. Пусть функция f (z) аполитична в односвязной области D, и пусть, а и Ь — две любые точки из D. Тогда ммтетрилы по всем кривым, идущим из, а в Ь и лежащим внутри D, равны между собой.

Другими словами, интеграл зависит не от пути, а лишь от его начальной и конечной точек.

Доказательство. Пусть Г и Г-2 — два пути, идущие из а в b (рис. 33). Обозначим через Гj" кривую Гi, проходимую в противоположном направлении, т. е. из Ь в а. По теореме 16.1 интеграл J f (z)dz

г по замкнутом)^- контуру Г = Г-2 U Г|~ равен нулю. Отсюда.

и, следовательно.

Следствие 16.3 доказано.

Рис. 33.

Точки z, в которых (однозначная) функция f (z) является аналитической. называются регулярными или правильными точками функции f (z). Точки, в которых f (z) не является аналитической, в том числе точки, в которых f (z) не определена, называются особыми. Особая точка zq называется изолированной, если найдется такая окрестность с центром Zo, в каждой точке которой, за исключением самой точки zo, функция f (z) является аналитической.

Следствие 16.4 (неизменяемость интеграла при деформации пути интегрирования). Интеграл от аналитической функции f (z) по кривой Г (замкнутой или незамкнутой) не изменяет своей величины при любой непрерывной деформации кривой Г, если только при этой деформации кривая Г не пересекает особых точек функции f (z); в случае незамкнутой кривой Г подразумевается, что при деформации начало и конец Г остаются неподвижными.

Доказательство. Для незамкнутой кривой нужное утверждение вытекает из следствия 16.3, поскольку при непрерывной деформации кривой Гх в Г₂ функция f (z) будет аналитической в односвязной области, заключенной между ними (см. рис. 33). (Действительно, если между Pi и Г₂ есть хотя бы одна особая точка функции /(г), то непрерывная деформация кривой l*i в Г₂ без пересечения этой точки невозможна.) следует из формулы (1G.5) при п = 2, поскольку функция f (z) будет аналитической в двусвязной области, ограниченной этими контурами.

Пример 16.5. Функция f (z) = l/z аналогична во всей комплексной плоскости С, за исключением точки z = 0. Возьмем в качестве Г окружность z = 1. В силу (15.6).

Значит, требование односвязности в теореме 16.1 существенно. Из формулы (16.6) следует, что если проинтегрировать функцию 1 jz по верхней и по нижней полуокружностям, ведущим из точки (—1,0) в (1,0), то результат будет различным (проделайте это вычисление, руководствуясь примером 15.1). В то же время, деформируя окружность z = 1 так, чтобы она не пересекала точку г = 0 (в частности, изменяя ее радиус), мы будем получать все то же значение интеграла 2ni. (В примере 15.1 уже отмечалось, что это значение не зависит от радиуса окружности z = г.) Если же проинтегрировать функцию 1/z по замкнутому контуру, не содержащему внутри себя точку 2 = 0, то интеграл будет равен нулю.