Даны вершины пирамиды А1 А2 А3 А4

А1 (0;-6;3), А2 (3;3;-3), А3 (-3;-5;2), А4 (-1;-4;0).

Найти: 1) угол между рёбрами А₁А₃ и А₁А_4;2) длину высоты проведённой из вершины А₄; 3) Площадь грани А₁А₃ А_4.

алгебраический уравнение медиана пирамида Решение: 1) Составим уравнения ребер А₁А₃ и А₁А₄, используя уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

Получим уравнения А₁А_3: или.

А₁А₄: или.

Применим формулу для нахождения угла между двумя прямыми в пространстве:

где.

Получим ;

2) Длину высоты проведённой из вершины А_4, найдём по формуле расстояния от точки А₄ до плоскости А₁ А₂ А₃

Для этого сначала составим уравнение плоскости А₁ А₂ А₃, используя уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Получим.

Преобразуем уравнение разложив определитель по элементам первой строки:

или.

— получили общее уравнение плоскости А₁ А₂ А₃

Расстояние от точки А₄ до А₁ А₂ А₃ найдём по формуле.

Здесь A=-9, B=3, C=30, D=108.

Получим.

3) Площадь грани А₁А₃ А_4.найдём по формуле.

В пункте 2).

Тогда.

Получим.

Ответ: 1); 2); 3).

Найти следующие пределы

• а)
• б)
• в)
• г)

Решение: a) Применяя основные теоремы о пределах, находим.

б) При нахождении этого предела непосредственная подстановка предельного значения аргумента х=1 даёт неопределённость. Для раскрытия этой неопределённости разложим числитель и знаменаткль дроби на линейные множители по формуле — корни квадратного трёхчлена. После преобразования сократим дробь на общий множитель, далее применим теоремы о пределах.

в) При нахождении этого предела имеем неопределённость вида. Разделим числитель и знаменатель дроби на входящую в неё наивысшую степень переменной x (в данном случае на x³), потом применим теоремы о пределах:

г) При нахождении этого предела используем первый замечательный придел.

Отсюда.