Основы операционного исчисления

Опишем вначале в общих чертах, в чем состоит операционное исчисление и на чем основаны его применения. Вводится правило, по которому каждой функции /(/) действительного переменного t, принадлежащей достаточно широкому классу функций, ставится в соответствие функция F (p) комплексного переменного р. Это правило называется преобразованием или оператором. Исходная функция f (t) называется оригиналом, а соответствующая ей функция F (p) — ее изображением. Каждому изменению оригинала соответствует то или иное изменение изображения. Оказывается, что введенное преобразование обладает следующим важным свойством, па котором и основаны его применения: действия над изображениями получаются значительно проще, чем действия, произведенные над оригиналами. Например, дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на переменное р. интегрированию — деление на р и т. д.

Пусть, например, требуется найти функцию y (t.) из некоторого уравнения, содержащего эту функцию под знаками производных и интегралов. Операционный метод решения задачи сводится к следующим этапам:

• 1) от искомой функции y (t) переходят к ее изображению У (р);
• 2) над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над y (t). При этом получается уравнение относительно функции У (р) (так называемое операторное уравнение), которое оказывается проще исходного уравнения относительно y (t). Например, дифференциальному уравнению соответствует алгебраическое уравнение и т. д.;
• 3) полученное операторное уравнение решают относительно Y(р);
• 4) от найденного изображения Y (p) переходят к оригиналу y (t), который и является искомой функцией.

Еще в XIX в. начало развиваться так называемое символическое исчисление, в котором n-я производная функции y (t) рассматривалась как действие на у формального символа р^и (в современном понимании р — аргумент изображения У (р)). Такой подход оказался довольно удобным для решения ряда задач, связанных с линейными дифференциальными уравнениями. Распространению и развитию этого метода в большой мере способствовал английский инженер и физик О. Хевисайд (1850−1925), успешно использовавший символическое исчисление для решения задач электротехники. Но формальные правила действий над символами не имели должного математического обоснования. Соответствующая теория была построена лишь в трудах ряда математиков XX в.