Виды и примеры экономико-математических моделей

Ввиду разнообразия применяемых математических моделей их общая классификация отсутствует. В литературе встречаются самые разные классификации, в основу которых положены различные подходы. Нужно помнить, что любая классификация довольно условна.

Автор данной книги попытался отчасти синтезировать эти подходы, отчасти — предложить собственную классификацию экономико-математических моделей по ряду характерных признаков. Результаты этой работы представлены в табл. 1.1 и комментариях к ней.

Таблица 1.1

Классификация экономико-математических моделей.

По общему целевому назначению экономико-математические модели можно условно разделить на общетеоретические, используемые при изучении общих свойств и закономерностей социально-экономических процессов, и прикладные, применяемые при решении конкретных социально-экономических и управленческих задач. Это деление условно, поскольку одна и та же модель в одних случаях может рассматриваться как общетеоретическая, а в других — как прикладная.

Пример 1.1. Производственная функция Кобба — Дугласа может считаться общетеоретической экономической моделью, характеризующей влияние труда (I) и капитала (К) на объем выпускаемой продукции Q

где а — технологический коэффициент; а — коэффициент эластичности по труду; Р — коэффициент эластичности по капиталу. В то же время эта функция используется в качестве прикладной модели для анализа факторов экономического роста в конкретных секторах экономики и решения задач прогнозирования динамики их развития. Аналогично простейшая модель, характеризующая общую тенденцию изменения спроса (D) на товар при изменении его цены (р)

может рассматриваться и как общетеоретическая, и как прикладная модель при использовании такой или подобной модели, например, в конкретных маркетинговых исследованиях.

С точки зрения практического назначения можно выделить дескриптивные (описательные) и нормативные модели. Дескриптивные модели разрабатываются для описания и объяснения фактически наблюдаемых явлений по принципу «как есть» (as it is), анализа влияния различных факторов на исследуемый признак, построения прогнозов изменений значений исследуемого признака.

Пример 1.2. Примером дескриптивной модели может являться функция Кобба — Дугласа с коэффициентами эластичности, определенными по конкретным статистическим данным на основе регрессионного анализа. Нормативные модели разрабатываются для нахождения наилучших (оптимальных) значений факторов, определяющих функционирование социально-экономической системы, в целях ее наиболее эффективного развития («как должно быть» — as to be). Например, любая оптимизационная модель является нормативной.

По конкретному назначению (цели разработки и применения) выделяют оптимизационные модели, предназначенные для выбора наилучшего варианта из конечного или бесконечного числа различных вариантов социально-экономического поведения (например, производства, распределения или потребления продукции) в соответствии с заданными критериями оптимальности (например, максимум получаемой прибыли, минимум затрат и т. п.); прогнозные модели, предназначенные для построения прогнозов развития моделируемой социально-экономической системы; балансовые модели, выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования; и др.

Математическое моделирование может быть направлено на исследование как систем, в которых все параметры системы контролируются одним лицом, принимающим решения (ЛИР), так и систем, в которых решения самостоятельно принимаются различными ЛПР (согласованно или независимо друг от друга), причем различные параметры системы контролируются разными ЛПР. В первом случае соответствующие модели исследуемой системы можно классифицировать как одиосубьектные, во втором — как многосубъектные.

Представим, что в односубъектной оптимизационной модели задана целевая функция, определяющая результаты, получаемые ЛПР при различных значениях параметров, им устанавливаемых (т.е. но сути его различные способы действия), и ограничения, накладываемые на значения этих параметров. При этом предполагается, что ЛПР ведет себя таким образом, чтобы выбором действия максимизировать значение своей целевой функции. Основоположники теории игр Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн называют такую экономическую ситуацию «экономикой Робинзона Крузо» — один изолированный индивид реализует свои цели в предположении, что у него есть ряд параметров и ему нужно скомбинировать их таким образом, чтобы получить желаемый результат.

Пример 1.3. Допустим, что ЛПР стремится максимизировать свою целевую функцию F^x_v х₂) —*• max, полностью контролируя переменные x_v х₂ при огра;

х"х₂

ничивающих обстоятельствах. Это означает, что ЛПР стремится обеспечить для себя наилучший результат за счет выбора возможных решений x_v х₂. Однако ограниченность ресурсов налагает ограничения на множество возможных решений, что и порождает проблему экономического выбора. Решением данной экономической задачи будет такая альтернатива, которая при заданных предпочтениях ЛПР является наиболее предпочтительной из всех возможных (удовлетворяющих ограничениям) альтернатив.

Задача принципиально меняется из-за появления других субъектов, каждый из которых обладает определенными предпочтениями и контролирует ряд параметров, от которых зависят результаты других ЛПР. Из-за этого задача поиска оптимального решения существенно усложняется. В случае когда участников несколько, необходимо учитывать их взаимное влияние, так как выигрыш каждого ЛПР зависит как от его собственного действия, так и от действий других игроков.

Пример 1.4. Для случая двух игроков, каждый из которых контролирует один из параметров, задача представляется так:

В этом случае мы имеем дело с двухсубъектной экономико-математической моделью. Если один из ЛПР не способен реализовывать свои цели (т.е. контролировать свой параметр) или очевидно определился с выбором значения этого параметра, то рассматриваемая задача двухсубъектной оптимизации редуцируется к случаю односубъектной оптимизации.

С точки зрения способа разработки модели, определяемого в том числе и типом информации, используемой для разработки, модели можно условно разделить на теоретические (априорные), использующие априорную (предшествующую опыту) информацию о предмете исследования (концептуальные понятия, предполагаемые связи между основными признаками и т. д.), и экспериментальные (апостериорные), основанные на опыте, наблюдении, эксперименте.

Для одного и того же предмета исследования могут разрабатываться модели и того и другого видов. Например, для исследования влияния налоговой ставки па предпринимательскую активность разрабатываются прикладные теоретические многосубъектные оптимизационные модели на основе методов и принципов теории игр. Также разрабатываются экспериментальные описательные модели на основе статистических данных с применением методов корреляционно-регрессионного анализа.

По признаку включенности фактора неопределенности в модель (что связано с различными предположениями о причинной обусловленности одного исследуемого признака другими) модели можно разделить на детерминированные и стохастические (также называемые вероятностными, статистическими или вероятностно-статистическими). В моделях первого класса результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями на входе. В моделях второго класса при задании одних и тех же значений на входе модели на выходе могут получаться различные результаты, что связано с действием случайных факторов или факторов, не учтенных моделью. Соответственно, прогнозы, полученные с помощью вероятностно-статистических моделей, имеют вероятностный характер.

Разработка детерминированных моделей требует знания закономерностей и механизмов функционирования исследуемых систем. Но часто моделируемая система сложна и закономерности и механизмы ее функционирования неясны. В этом случае на основе экспериментальных данных строят описательные модели с помощью методов математической статистики и теории вероятностей, устанавливая связи между переменными, описывающими объект. Таким образом получают стохастическую модель, в которой связь между переменными носит случайный характер, в том числе по причине воздействия большого количества неформализованных факторов.

Поясним различие детерминированных и стохастических моделей подробнее и рассмотрим несколько дополнительных понятий, связанных с такой классификацией экономико-математических моделей.

Анализ и прогнозирование состояния изучаемого явления предполагают его изучение во взаимосвязи с другими явлениями или величинами. Основной изучаемый признак называют результативным признаком, или зависимой переменной (г/), а другие связанные с у признаки называют независимыми переменными, или факторными признаками, или факторами (x_v …, х_п). Соответственно, в детерминированных моделях математически представляются связи (называемые также явными) между показателями, полученные вычислением по заранее известным формулам и законам. Поэтому значение зависимой переменной становится известным, как только становятся известны значения всех независимых переменных. Простым примером может служить зависимость между ценой единицы товара (р) и ценой партии (Р), состоящей из п единиц товара: р = Р/п или Р = рп. В таких моделях каждому возможному значению факторных признаков x_i однозначно соответствует определенное значение результативного признака у:

Жесткий детерминизм в таких моделях проявляется в предположениях о том, что:

• а) любое действие вызывает строго определенный результат с вероятностью, равной единице, т. е. случайные (непредвиденные заранее) воздействия не учитываются;
• б) в каждом случае известны полный перечень факторов, определяющих значение результативного признака, а также точный механизм их влияния, выраженный определенным уравнением.

В реальности ввиду неполноты информации часто возникает неопределенность в характере воздействия факторов на результативный признак и даже в наличии всех влияющих на него факторов. В этом случае связь между признаками называется вероятностной или стохастической. Это означает, что результативный признак кроме рассматриваемых факторов подвержен влиянию ряда неучтенных или неконтролируемых (случайных) факторов, а также некоторых ошибок измерения. Поскольку значения зависимой переменной подвержены случайным изменениям, они не могут быть определены абсолютно точно, но могут быть предсказаны с определенной вероятностью.

При стохастических связях неизвестен ни полный перечень факторов, определяющих значение результативного признака, ни точный механизм их взаимодействия с результативным признаком, т. е. всегда имеет место влияние случайных факторов. Модель стохастической связи может быть представлена в общем виде выражением.

где у — прогнозируемое (ожидаемое) значение результативного признака; f (x_v…, х_п) — функция, отражающая влияние известных и учтенных факторных признаков x_j9 i = 1, …, п г — влияние неконтролируемых или неучтенных факторов, а также случайных ошибок измерения.

В стохастических моделях по значениям известных факторов можно установить лишь некоторую «среднюю» тенденцию в значениях зависимой переменной. Так, например, между ростом человека и его весом существует некоторая зависимость, но эта зависимость не жестко детерминирована, она действует для «среднего» человека.

С точки зрения учета фактора времени экономико-математические модели разделяют на статические и динамические. С помощью статических моделей исследуется влияние ряда факторных признаков на результативный признак в определенный момент времени (например, как на цену товара могут влиять такие факторы, как качество товара, затраты на его рекламу, место продажи, наличие конкурентов и др.). В общем случае статическая модель влияния п факторных признаков x_vx₂,…, х_п на результативный признак у может быть представлена как.

В динамических моделях может исследоваться влияние на результативный признак значений этого же признака в предыдущие моменты времени, а также влияние значений факторных признаков за предыдущие периоды, например

По уровню агрегирования (объединения различных элементов и подсистем) экономико-математические модели можно разделить т макроэкономические (отражающие экономическое развитие отдельных стран и межнациональных объединений), мезоэкономические (разработанные для исследования экономики отдельных отраслей, регионов, городов и т. п., а также их экономического взаимодействия), микроэкономические (представляющие взаимодействия предприятий, фирм, организаций) и наноэкономические (характеризующие поведение индивидуальных экономических субъектов, например работников предприятия, — от термина «наноэкономика», определяемого часто как «экономика рабочего места»).

В частности, с помощью микроэкономических моделей исследуется взаимодействие потребителей и производителей продуктов и услуг, осуществляется моделирование потребительского поведения и спроса, производятся оценка состояния и прогноз развития динамики финансово-экономических объектов, процессов и явлений. Макроэкономические модели разрабатываются, например, для исследования функционирования рыночной экономики, процессов безработицы и инфляции, определения политики государственного регулирования экономики, анализа межотраслевых связей.

Другой возможной классификацией экономико-математических моделей по данному признаку является их подразделение на внутриорганизационные, межорганизационные и метаорганизационные [9]. Пример использования такой классификации экономико-математических моделей, разрабатываемых для решения задач организации креативно-инновационной деятельности, приведен на рис. 1.1.

По аспектам социально-экономического развития можно выделять финансово-экономические, производственные, территориальные и другие модели, например модели воспроизводства основных фондов, трудовых ресурсов, формирования и распределения доходов, трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых связей и др.

По характеру представления моделируемых связей, зависимостей и закономерностей экономико-математические модели можно разделить на функциональные (называемые также факторными, функционально-аналитическими или просто аналитическими), структурные и графические.

Функционально-аналитическая модель представляет собой количественные зависимости результативного признака от факторных признаков (например, зависимости выходных параметров системы от ее внутренних и внешних параметров) в виде функциональных зависимостей, систем уравнений или неравенств разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.). Соответственно, все величины, характеризующие исследуемые систему или процесс, выражаются количественно. Такие модели отражают.

Рис. 1.1. Уровни анализа и моделирования инновационной деятельности:

1 — внутрифирменное взаимодействие; 2 — межорганизационнос взаимодействие; 3 — метаорганизационное взаимодействие зависимость уровня и динамики того или иного экономического показателя от уровня и динамики влияющих на него экономических показателейаргументов. В качестве факторных признаков в модель могут включаться экзогенные (внешние) и эндогенные (внутренние) факторы. Например, экзогенный фактор в модели может представлять рыночную конъюнктуру (спрос на продукцию), а эндогенный — наличие трудовых и производственных ресурсов в компании, производящей такую продукцию.

Функционально-аналитические модели — наиболее распространенный класс экономико-математических моделей. Примеры таких моделей рассмотрены выше, к ним относятся производственная функция Кобба — Дугласа, функциональная зависимость спроса от цены на товар (уровня доходов населения, уровня конкуренции и т. д.), модель линейного программирования и др.

Структурные модели отображают структуру исследуемой системы, структурные взаимосоотнесенности ее элементов, соотношение результатов в различных стратегических ситуациях и т. д. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц, графов (дерева решений). Важно отметить, что в таких моделях главное значение для ЛПР имеет не точные числовые величины получаемых результатов, а их соотношение в различных ситуациях. Это означает, что такие модели отражают в первую очередь предпочтения игроков.

Пример 1.5. В качестве примера структурной модели приведем простую теоретико-игровую модель «Ценовая война» (являющуюся вариантом так называемой прототипной игры «Дилемма узников», см. гл. 3 данного учебника). Рассмотрим случай ценовой конкуренции двух фирм, при котором возможны три варианта:

• 1) если компании договорятся продавать товар по высокой цене, они получат большую прибыль;
• 2) если одна компания снизит цену, а конкурент будет продолжать продавать по высокой цене, тогда он останется в проигрыше;
• 3) если обе компании торгуют по низким ценам, прибыли незначительные.

Реальным примером может служить следующая ситуация, описанная в газете The Wall Street Journal от 31.01.2003: компании General Motors и Ford Motor оказались вовлечены в обостряющуюся цеповую войну. Компания Ford Motor (шла вынуждена увеличить скидку на свои мини-грузовики (автомобили категории light-tmek) с 2 тыс. до 2,5 тыс. долл., после того как неделей ранее компания General Motors предложила на свои автомобили этой категории дисконт в размере 2,5 тыс. долл.^[1]

Покажем на этом примере, как можно формализовать ситуацию в виде структурной модели, даже не имея точной информации о платежах игроков, т. е. в данном случае об экономических результатах компаний (доходах, объемах продаж и т. д.). Очевидно, что снижение цены одной из компаний на аналогичный продукт из-за перераспределения покупателей приведет к увеличению объемов продаж этой компании и снижению объемов продаж другой. Уменьшение цен обеими компаниями в условиях ограниченного спроса снижает прибыль обеих компаний. Воспользовавшись популярными в сетевом общении значками emoticons (или, как их называют российские пользователи Интернета, смайликами), представим эту ситуацию в следующем виде:

Аналогичные ситуации возникают на всех олигополистических рынках (рынок услуг мобильной связи, бытовой электроники, топлива и др.) — Подробный анализ таких ситуаций представлен в разд. IT, посвященном моделям теории игр.

Графическая (схемная) модель представляется в виде графиков, схем, диаграмм и т. п. Пример графических моделей, отражающих зависимость спроса на товар от его цены, представлен на рис. 1.2 (подробно получение данного рисунка рассмотрено в гл. 9).

Рис. 1.2. Пример графического представления зависимости спроса от цены.

Тип математико-инструментального аппарата, используемого при построении экономико-математической модели, определяет широкий спектр моделей различных видов, среди которых можно выделить, например, модели линейного, целочисленного, нелинейного, динамического программирования, теоретико-игровые, регрессионные, алгоритмически-имитационные, экспериментально-имитационные модели, модели массового обслуживания, модели сетевого планирования и др. Экономико-математические задачи, для решения которых используются многие из указанных видов моделей, рассматриваются в главах данного учебника. Здесь мы приведем лишь общую характеристику таких моделей.

Модели линейного программирования — оптимизационные модели, в которых все переменные имеют первую степень, т. е. все математические выражения, входящие в модель, линейны. Каноническим примером такой модели является постановка и решение следующей задачи (задача оптимального использования производственных ресурсов): для изготовления п видов продукции используется т видов ресурсов; требуется составить план производства продукции, который обеспечивает максимум прибыли при заданных ограничениях на ресурсы. Подробно такая задача и ее приложения рассмотрены в гл. 2 данного учебника. Вариантами задачи линейного программирования являются, например, задачи оптимального смешения ингредиентов (задачи о смесях), задачи оптимального раскроя, транспортные задачи (гл. 2). В частности, транспортная задача в ее классической постановке заключается в разработке оптимального плана перевозок груза от нескольких поставщиков к ряду пунктов потребления, при котором обеспечивается достижение минимума затрат на перевозку.

Если в задачах и моделях линейного программирования на решение дополнительно накладывается требование целочисленности искомых переменных, то говорят о задачах и моделях целочисленного программирования. Примером такой задачи является задача о назначениях, по сути, представляющая собой вариант транспортной задачи. Имеется т исполнителей, которые могут выполнять п различных работ. Известна полезность c_ijy связанная с выполнением i-м исполнителем j-й работы, i = 1, …, т; j = 1, п. Необходимо назначить исполнителей на работы так, чтобы добиться максимальной суммарной полезности, при условии что каждый исполнитель может быть назначен только на одну работу и за каждой работой должен быть закреплен только один исполнитель.

Модели нелинейного программирования разрабатываются для решения аналогичных задач, но допускают либо нелинейность функций, входящих в ограничения, либо нелинейность целевой функции, либо того и другого. Нелинейность приводит к заметному усложнению методов решения соответствующих оптимизационных задач.

Инструментарий решения задач линейного, целочисленного и нелинейного программирования, реализованный в программе MS Excel, представлен в гл. 2 данного учебника.

Модели динамического программирования используются для нахождения решений задач оптимального управления большими динамическими системами, при котором исходная задача разбивается на подзадачи меньшего размера и их решения комбинируются для решения исходной задачи.

Теоретико-игровые модели — это многосубъектные оптимизационные модели, при их построении используются принципы и методы теории игр, в рамках которой разработан логико-математический аппарат для анализа и разработки оптимальных стратегий в условиях конфликта и неопределенности поведения. Теорию игр также называют теорией разрешения конфликтов и поиска компромиссов, а также теорией рационального поведения. Методам и моделям теории игр посвящен отдельный и сравнительно объемный раздел этого учебника, поэтому здесь ограничимся указанием областей их применения.

Теория игр имеет самые разнообразные практические приложения [7]. Ее аппарат может использоваться для анализа ситуаций, связанных с необходимостью принятия стратегических решений, конкуренцией, кооперацией, риском и неопределенностью. Па макроэкономическом уровне теория игр применяется, например, при принятии решений о международной торговле, конкуренции, налогообложении, протекционистских действиях стран или создании картелей типа ОПЕК и последующей оценке вклада каждого из его участников при соответствующем распределении прибылей.

На микроэкономическом уровне теория игр может помочь, например, в определении оптимальных затрат на рекламу в условиях конкурентного рынка, организации производства или выработке наилучшего поведения во время торгов (аукционов).

На основе теории игр можно принимать решения об объединении компаний для осуществления совместных проектов, построения прогнозных сценариев поведения конкурентов, нахождения механизмов межрегиональных взаимодействий и схем распределения доходов. Теоретико-игровые модели используются при планировании и прогнозировании, разработке стратегий развития компаний, определении ценовой политики, ведении переговоров, в частности при согласовании интересов и взаимоотношений компаний-партнеров, собственников активов, работодателей и работников, а также других агентов экономической деятельности. Известны случаи, когда с помощью теории игр анализировалось даже поведение мафиозных группировок и выстраивались стратегии политической борьбы.

Регрессионные модели представляют собой результаты аппроксимации (от лат. approximationis, англ, approximation — приближение), т. е. приближенного выражения эмпирических данных в виде функции. Полученная функциональная зависимость называется уравнением регрессии, или просто регрессией. Регрессионная модель — представление зависимости среднего значения результативного признака от среднего значения других (одного или нескольких) факторных признаков. В настоящее время такие модели наиболее часто используются для анализа бизнес-ситуаций и принятия управленческих решений на основе эмпирических исследований.

Пример графической регрессионной модели представлен на рис. 1.3. Таким примером является и рис. 1.2.

Рис. 13. Пример графической регрессионной модели.

Под алгоритлшчески-шштационной моделью понимается алгоритм, реализованный в виде компьютерной программы и описывающий функционирование отдельных блоков исследуемой системы и правила их взаимодействия. В такие модели часто включается генератор случайных чисел для моделирования влияния случайных возмущений и неучтенных факторов на процессы и результаты функционирования моделируемой системы (на ЭВМ) и последующего статистического анализа полученных результатов. Примером может служить модель креативно-инновационной деятельности [9]. На рис. 1.4 представлена общая схема этой модели.

Работа с алгоритмически-имитационными моделями имеет ряд преимуществ по сравнению с работой с математическими моделями (лучшее соот;

Рис. 1.4. Концептуальная схема алгоритмически-имитационной модели креативно-инновационной деятельности фирмы.

ветствие реальной системе; возможность верификации (проверки) отдельных блоков модели до их включения в общую модель; возможность моделирования зависимости более сложного характера, не описываемой математическими моделями; возможность решения слабоформализуемых проблем и задач, не поддающихся аналитическому решению).

В то же время построение алгоритмически-имитационной модели по сравнению с математическим моделированием требует, как правило, большей детализации исследуемых системы или процесса, больших затрат времени на разработку, тестирование и исследование модели, наличия соответствующего компьютерного и программного инструментария и навыков обращения с ним. Отметим, что алгоритмически-имитационные модели не заменяют математические, а, во-первых, строятся на их основе и, во-вторых, дополняют их. Например, такие модели часто применяются для верификации сложных математических моделей.

Экспериментально-имитационными моделями можно считать разнообразные форматы моделирования аспектов принятия решений в различных областях человеческой деятельности в условиях направленного контролируемого эксперимента. Наиболее известным и широко применяемым из подобных форматов является деловая игра — моделирование процессов и механизмов принятия решений в условиях поэтапного, многошагового уточнения необходимых факторов, анализа информации, поступающей дополнительно и вырабатываемой в ходе игры. Деловые игры успешно применяются для анализа поведения экономических субъектов.

В частности, на основе деловых игр принимаются решения, связанные с совершенствованием инвестиционной, финансовой и производственной политики. Путем проработки правил и сценария деловой игры можно получать качественную достоверную информацию в контролируемых условиях с малыми затратами. Поэтому деловые игры применяются не только как инструмент обучения, но и как метод исследования и принятия решений. Деловые игры служат важным дополнением к используемым математическим методам принятия решений, в ходе их проведения допускается возможное принятие не только оптимальных, но и субоптимальных и неоптимальных решений. Принятие неоптимальных решений может быть вызвано неполнотой информации и (или) ограниченными возможностями обработки имеющейся информации. Эти причины вызывают отклонения от рационального поведения вследствие противоречий между собственными мотивами Л11Р и необходимостью принять экономически важное решение.

Дальнейшая классификация экономико-математических моделей имеет довольно частный и технический характер. Например, по количеству факторов воздействующих на результативный признак, модели классифицируются на однофакторные и многофакторные (два и более факторов). В однофакторные модели включены результативный и единственный факторный признаки (например, моделируемая связь между прибылью и производительностью труда). Такие модели называются также простыми или парными (так как рассматривается пара признаков). Многофакторные модели позволяют одновременно учитывать воздействие нескольких факторов на уровень и динамику результативного признака. Например, в модель изменения спроса могут включаться факторы цены и уровня доходов населения; объем выпускаемой продукции может зависеть от объема инвестиций и числа рабочих, занятых в процессе производства; производительность труда может определяться уровнем организации труда и автоматизации производства, квалификацией работников, их производственным стажем и др.

По аналитическому выражению (форме) модели могут быть линейными и нелинейными. В первом случае с возрастанием значения факторного признака происходит непрерывное и постоянное (с одной скоростью) возрастание (или убывание) значений результативного признака. Математически такая модель представляется уравнением прямой, а графически — прямой линией (рис. 1.5, а). В нелинейных моделях с возрастанием значения факторного признака возрастание (или убывание) результативного признака происходит неравномерно или же направление его изменения меняется на обратное. Такие модели представляются нелинейными уравнениями и графиками (гиперболой, параболой и т. д.). По виду функций, входящих в нелинейные модели, их разделяют на выпуклые (рис. 1.5, 6) и вогнутые (рис. 1.5, в). Например, функция у = ах?, а> 0, при b = 1 будет линейной, при b > 1 — выпуклой, при 0 < /; < 1 — вогнутой.

Рис. 1.5. Возможные виды функциональных зависимостей:

а — линейная функция; б — выпуклая функция; в — вогнутая функция (подготовлено в программе Derive)

По количеству критериев принятия решений экономико-математические модели (преимущественно оптимизационные) можно разделить на скалярные (однокритериальные) и векторные (.многокритериальные). В первом случае оптимизация проводится по единственному критерию оптимальности (например, максимизация объемов производства, дохода, прибыли и т. п. или минимизация производственных, логистических или суммарных затрат и т. п.).

С помощью векторных моделей решаются задачи оптимизации функционирования систем, состоящих из подсистем, имеющих несовпадающие цели. В этом случае требуется нахождение некоторого компромисса между этими целями и, соответственно, между несовпадающими (частично связанными или несвязанными) критериями. Подходом к решению таких задач может быть ранжирование критериев по важности, выделение одного из них в качестве главного и установление минимально приемлемых требований по остальным критериям. Этот подход называется субоптимизацией по выбранному критерию (заданные уровни остальных критериев являются, по сути, дополнительными ограничениями). Другой подход — при ранжировании приписывать критериям определенные веса (соответственно их важности) и на этой основе строить единый скалярный критерий, отражающий общую цель системы. Такой подход называется скаляризацией векторного критерия. И в том и в другом случае задача векторной оптимизации сводится к задаче скалярной оптимизации.

Более сложным подходом к решению задач векторной оптимизации является поиск множества так называемых решений, обладающих признаками оптимальности {эффективности) по Парето. Этот признак означает, что если улучшение какого-то показателя (критерия) потребует ухудшения хотя бы одного из остальных, оптимум считается достигнутым.

В других случаях задачу векторной оптимизации решают с помощью многосубъектных моделей теории игр, в которых игроками выступают подсистемы, имеющие несовпадающие цели, отражаемые соответствующими критериями оптимальности. Оба подхода, как правило, приводят к нескольким решениям, каждое из которых в определенном смысле оптимально, что ставит дополнительную задачу выбора из множества найденных решений. В общем случае понятие и критерии оптимальности, а также способ нахождения оптимальных решений представляют собой достаточно сложные проблемы, которые мы рассмотрим более подробно в гл. 3.

Векторные модели также часто называются многокритериальными моделями. С точки зрения математического аппарата эти понятия можно считать идентичными. Но с экономической точки зрения существует некоторое различие. Считается, что векторные модели разрабатываются для исследования различных подсистем с различными целями и критериями оптимальности их функционирования (например, различных социальноэкономических групп), тогда как многокритериальные модели включают в себя вектор разнородных (и часто противоположных) критериев оптимальности некоторой системы в целом. Например, общество одновременно заинтересовано в расширении социальных программ и укреплении обороноспособности, в развитии химической промышленности и охране окружающей среды, в удовлетворении сегодняшних нужд и обеспечении будущих поколений и т. д. [13].

С точки зрения множества значений, которые могут принимать переменные и параметры модели, выделяют непрерывные (переменные могут принимать любые значения из определенного интервала), дискретные (переменные принимают дискретные значения) и дискретно-непрерывные модели (с переменными и параметрами смешанного типа).

Таким образом, классифицировать экономико-математические модели можно, но весьма большому количеству как отдельных, так и смешанных критериев. С развитием методов экономико-математического моделирования проблема классификации применяемых моделей непрерывно усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификаций осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции. Один и тог же тип моделей может быть применим к различным социальноэкономическим системам. В то же время одна и та же система может исследоваться с помощью моделей разных классов и видов. Это обстоятельство приводит к вопросу о качестве моделей и моделирования.

• [1] URL: http://www.gametheory.net/Nevs/Items/l09.html.