Основные понятия. 
Основы математического моделирования социально-экономических процессов

Часто в экономике и других областях встречаются ситуации, предполагающие возможность объединения двух или более игроков для совместного получения лучших результатов, но сравнению с результатами индивидуальной деятельности. В этом случае могут формироваться коалиции игроков с целью извлечения дополнительной выгоды от сотрудничества. Очевидно, что условием создания коалиции должно быть превышение ее суммарного платежа над суммой платежей, которые могли бы получить ее участники по отдельности. Возможность создания в игре различных коалиций можно рассматривать как специфическое расширение множества допустимых стратегий игроков. Для анализа таких ситуаций служат кооперативные игры. Они отвечают на вопрос, кому и с кем выгодно объединяться и стоит ли это делать вообще. Теория кооперативных игр обеспечивает методы анализа того, что каждая коалиция игроков может получить, без указания на то, как этот результат может быть достигнут [7].

В терминах кооперативных игр в принципе могут быть описаны и проанализированы многие экономические и социальные явления, связанные со справедливым распределением, например распределением общественных благ, доходов акционеров и инвесторов, затрат на социально значимый проект. В частности, игры этого класса полезны при рассмотрении взаимоотношений поставщиков и покупателей, обосновании различных форм частно-государственного партнерства, решении проблем банкротства и налогообложения и др. Однако из-за сложности анализа игр многих игроков моделирование коалиционных взаимодействий на данный момент пока еще в значительной степени остается в теоретической плоскости.

Теория кооперативных игр изучает неантагонистические конфликты, участники которых могут путем кооперирования объединять свои усилия. Но сотрудничество между игроками приводит к качественно иному виду конфликта по сравнению с некооперативными играми, а именно — к конфликту интересов при распределении совместно достигнутого результата (дележа).

В теории некооперативных игр основной единицей анализа является отдельный рациональный игрок, принимающий решения с учетом возможных стратегий других игроков (предполагается, что каждый игрок выбирает стратегию исходя из предположения, что другие участники будут максимизировать свои выигрыши в условиях, определенных всеми предыдущими выборами).

В теории кооперативных игр основная единица анализа — это группа участников, или коалиция. Цель анализа — определить такие варианты объединения, т. е. такие коалиции, которые будут наиболее полезны игрокам с точки зрения их платежей. Но при этом обычно абстрагируются от того, каким образом должны действовать игроки, чтобы обеспечить себе выигрыш. Таким образом, в теории кооперативных игр не учитываются стратегические возможности игроков, поэтому кооперативные игры также называются нестратегическими играми. В кооперативной игре задаются возможности и предпочтения отдельных игроков и их возможных коалиций, а решением таких игр являются оптимальные дележи, т. е. оптимальные варианты распределения между ними совместно достигнутых результатов. Хотя при этом устанавливаются иные принципы оптимальности по сравнению с некооперативными играми, фундаментальное понятие равновесия в смысле отсутствия стимула сепаратного отклонения от выбранной стратегии работает и в кооперативных играх.

При анализе кооперативных игр, как правило, предполагается, что полезности игроков обладают свойством трансферабельности (транзитивности), т. е. измеряются в одной шкале и могут передаваться от одного игрока другому без потерь, поэтому такие игры также называются играми с траисферабельной полезностью, хотя существуют и более сложные модели кооперативных игр, выходящие за рамки указанного предположения.

Рассматривая кооперативные игры, вначале введем главные понятия, характеризующие их, затем рассмотрим принципы оптимального решения, и наконец — методы поиска таких решений.

Кооперативной называется игра, в которой группы игроков могут создавать коалиции для объединения своих ресурсов с целью получения большего платежа, чем каждый игрок мог бы получить, действуя индивидуально.

Пусть N — множество всех игроков, N = {1,2,…,п), а К — любое его подмножество, элементы которого соответствуют игрокам, сформировавшим коалицию. В этом случае множество игроков К действует как один игрок против остальных NK игроков, образующих другую коалицию или несколько других коалиций. Как в любой игре, суммарный платеж каждой коалиции зависит от применяемых стратегий каждой коалиции (см. гл. 3). Число всевозможных коалиций в кооперативной игре значительно растет в зависимости от числа игроков в данной игре, поэтому технические трудности анализа возрастают с ростом п.

Функция, которая каждой коалиции К ставит в соответствие наибольший, уверенно получаемый платеж о (К), называется характеристической функцией. Характеристическая функция описывает величину платежа, который может быть достигнут коалицией К. Кооперативная игра определяется заданием характеристической функции, переводящей элементы из множества всех коалиций во множество платежей. При этом учитывается, что каждый игрок предпочитает ту коалицию, в которой он получает больший выигрыш. Таким образом, предполагается, что игроки принимают решение о создании коалиции в зависимости от распределения платежей внутри коалиции.

Распределение платежей коалиции между входящими в нее игроками называется дележом. В кооперативной игре, как правило, существует множество возможных дележей. Каждый дележ описывается теми платежами, которые при этом получают отдельные игроки. С математической точки зрения дележ — это вектор х = (x_v …, х_п)₉ где x_i — выигрыш i-ro игрока.

Характеристическая функция о называется простой, если она принимает только два значения: 0 и 1. Соответственно кооперативные игры, где все выплаты равняются единице или нулю, т. е. коалиции либо выигрывают, либо проигрывают, называются простыми. Если характеристическая функция и простая, то коалиции, для которых и (К) = 1, называются выигрывающими, а коалиции, для которых и (К) = 0, — проигрывающими. Простые характеристические функции возникают, например, в условиях голосования, когда коалиция является выигрывающей, если она собирает более половины голосов (простое большинство) или не менее двух третей голосов (квалифицированное большинство).

Если в простой характеристической функции о выигрывающими являются только те коалиции, которые содержат фиксированную непустую коалицию R, то характеристическая функция о, обозначаемая в этом случае через о_А" называется простейшей. Например, при голосовании в Совете Безопасности ООН выигрывающими коалициями являются все коалиции, состоящие из всех постоянных членов Совета плюс еще хотя бы один непостоянный член, и только они.

Характеристическая функция обладает следующими свойствами:

• • персональность: о (0) = 0, т. е. пустая коалиция (не состоящая ни из одного игрока) не получает ничего;
• • дополнительность: о (К) + о (NK) = о (Д^г), т. е. сумма выигрышей коалиции и остальных игроков должна равняться общей сумме выигрышей всех игроков;
• • монотонность'. AciB => и (Л) < v (B), т. е. у больших коалиций выигрыши больше;
• • супераддитивность'. j (K ul)> о (К) + и (I), если К, L N, К п L ^ 0, т. е. общий выигрыш коалиции должен быть не меньше суммарного выигрыша всех участников коалиции (это свойство отражает дополнительные возможности, возникающие у группы игроков при их объединении).

Кооперативные игры называются существенными, если для любых коалиций К и L выполняется неравенство v (K) + и (I) < о (К u I), т. е. при условии супераддитивности выполняется строгое неравенство. Если же при этом условии выполняется равенство v (K) + и (I) = и (К u L) (свойство аддитивности), то такие игры называются несущественными.

Доказаны следующие свойства кооперативных игр:

1) для того чтобы характеристическая функция была аддитивной (а кооперативная игра — несущественной), необходимо и достаточно выполнения следующего равенства:

• 2) в несущественной игре имеется только один дележ: {о (1), и (2),…, и (я)};
• 3) в существенной игре множество дележей бесконечно: {о (1) + а, о (2) + а₂,…, о (гг) + а,}, где а, > 0, i е N, о(N) — X о (0 ^> 0.

ieN

Кооперативная игра с множеством игроков N и характеристической функцией о, называется стратегически эквивалентной игре с тем же множеством игроков и характеристической функцией о₂, если найдутся такие k > 0 и произвольные вещественные C_jy i е N_y что для любой коалиции К с N имеет место равенство

Смысл определения стратегической эквивалентности кооперативных игр состоит в том, что их характеристические функции отличаются только масштабом измерения выигрышей k и начальным значением С_г Стратегическая эквивалентность кооперативных игр с характеристическими функциями о, и и₂ (или, что-то же самое, стратегическая эквивалентность их характеристических функций) обозначается и, ~ и₂.

Кооперативная игра называется нулевой, если все значения ее характеристической функции равны нулю. Содержательное значение нулевой игры состоит в том, что в ней игроки не имеют никакой заинтересованности. Всякая несущественная игра стратегически эквивалентна нулевой. Кооперативная игра с характеристической функцией о имеет (0, 1) —редуцированную форму, если выполняются соотношения о (г') = 0, г е N, о(N) = 1.

Доказана теорема о том, что каждая существенная кооперативная игра стратегически эквивалентна одной и только одной игре в (0,1^{редуцированной} форме. Эта теорема показывает, что мы можем выбрать игру в (ОД)-редуцированной форме для представления любого класса эквивалентности игр, что на практике часто упрощает решение игры. В игре в (0,1)-редуцированной форме дележом является любой вектор х = (x_v …, х_п), для которого X- > 0, i е N, и X ^xi = 1.

/ е Л^г