Методы решения статистических игр

Ситуации, в которых лицу, принимающему решения (ЛПР), не противостоит рациональный субъект, формально можно рассматривать как игры с природой, или статистические игры. Такие игры содержательно не предполагают конфликтность, так как один из игроков (среда, или природа) оказывается нейтральным, поскольку нельзя считать, что он стремится извлечь максимальную выгоду для себя из взаимодействия с другими игроками. Если с формальной точки зрения предполагать наличие конфликтности в такой игре, то к ней, в частности, могут быть применены методы решения матричных игр (гл. 4). Однако разработаны специальные методы и критерии принятия решений в играх с природой, основанные в большей степени на теории вероятностей и математической статистике, чем на принципах теории матричных игр.

Игры с природой представляются в нормальной форме, подобно матричным играм: строки матрицы i соответствуют возможным стратегиям ЛПРX' (i = 1,…, те), а столбцыj — возможным состояниям среды (природы) Sj (j = 1,…, п). Элементы матрицы^{.соответствуют} результату, получаемому ЛПР (для природы никакие возможные исходы не рассматриваются).

1. Максиминный критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма, или критерий осторожного наблюдателя). Критерий тождественен максиминному (пессимистическому) критерию, используемому при решении матричных игр в чистых стратегиях. Из каждой строки i выбираются минимальные элементы, т.с. те, которые соответствуют наихудшему результату ЛПР при известных состояниях природы s_r Затем выбирается стратегия ЛПР, соответствующая максимальному элементу из отобранных минимальных: шах mina₍₇.

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск, поскольку ЛПР не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется.

Применение данного критерия оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими признаками:

• • вероятности состояний природы неизвестны;
• • необходимо считаться с наихудшим из возможных вариантов;
• • решение реализуется только один раз или очень малое количество раз;
• • полная недопустимость риска.
• 2. Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного риска, критерий минимизации «сожалений»). Так же как и критерий Вальда, этот критерий является максимально осторожным и пессимистическим. Однако он ориентируется не на результат, а на риск (потери или штрафы) r_i}. В качестве оптимальной выбирается стратегия, при которой величина потерь в наихудших условиях минимальна: min max г г…

i j

Требования, предъявляемые к ситуации, в которой принимается решение, совпадают с требованием к использованию критерия Вальда.

3. Критерий Лапласа. Вероятность осуществления того или иного состояния среды Sj неизвестна, но предполагается, что все состояния среды равновероятны: р_} = 1 /п. Стратегия выбирается из условия.

Применение данного критерия оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими признаками:

• • вероятности появления состояния Sj неизвестны, не зависят от времени и равны;
• • решение реализуется большое (теоретически бесконечное) число раз;
• • для небольшого числа реализаций допускается некоторый неоцениваемый риск.
• 4. Критерий Байеса — Лапласа. Если известна вероятность pj осуществления того или иного состояния среды s, рассчитывается математическое ожидание результата ЛПР по каждой из строк: X а_У)р_}. Выбирают-

j

ся те варианты, которые соответствуют максимальному значению математического ожидания.

Применение данного критерия оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими признаками:

• • вероятности появления состояния известны и не зависят от времени;
• • решение реализуется большое (теоретически бесконечное) число раз;
• • для небольшого числа реализаций допускается некоторый неоцениваемый риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется, поэтому при полной (бесконечной) реализации решения какой-либо риск практически исключен. Таким образом, критерий Байеса — Лапласа может дать ЛПР лучший результат, чем максиминный критерий Вальда, однако он предполагает большую информированность и достаточно длительную реализацию.

5. Критерий Гурвича {Турвица) (критерий обобщенного максимума, или критерий пессимизма-оптимизма). Этот критерий обеспечивает промежуточное решение между крайним оптимизмом и крайним пессимизмом, определяемое, но принципу где X — весовой множитель, 0 < X < 1, т. е. для каждой строки рассчитывается среднее взвешенное (с учетом выбранного значения X) наименьшего и наибольшего результатов, после чего выбирается строка с максимальным значением.

При X = 1 критерий Гурвича превращается в пессимистический критерий Вальда. При X = 0 он превращается в критерий крайнего оптимизма, т. е. отражает позицию азартного игрока, ожидающего наиболее благоприятное состояние среды. Значения 0 < ^ < 1 характеризуют некоторое промежуточное отношение ЛИР к возможным рискам. Коэффициент X выбирается исходя из особенностей существующей ситуации, здравого смысла, опыта ЛПР, его отношения к риску и т. п. Чем опаснее ситуация, чем больше ЛПР стремится застраховать себя от возможных рисков, чем менее он азартен, тем ближе X к единице. Часто выбирается X = ½.

Применение данного критерия оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими признаками:

• • вероятности состояний природы неизвестны;
• • необходимо считаться с наихудшим из возможных вариантов;
• • реализуется малое количество решений;
• • допускается некоторый риск.
• 6. Критерий Ходжа — Лемана. Этот критерий основан одновременно на критерии Вальда и критерии Байеса — Лапласа. Решение ЛПР основано на принципе

Выбирается та стратегия ЛПР, которая обеспечивает максимум из средних взвешенных (с учетом выбранного значения v) математического ожидания результата и наименьшего значения в соответствующей строке.

С помощью параметра v выражается степень преобладания того или иного критерия при принятии решения. При v = 1 критерий Ходжа — Лемана переходит в критерий Байеса — Лапласа, а при v = 0 становится максиминным критерием Вальда. Чем больше ЛПР доверяет предполагаемому распределению вероятностей событий среды и чем больше количество реализуемых решений, тем ближе v к едиинице.

Применение данного критерия оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими признаками:

• • вероятности состояний природы неизвестны, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;
• • необходимо считаться с наихудшим из возможных вариантов;
• • принятое решение допускает большое (теоретически бесконечное) число реализаций;
• • при небольшом числе реализаций допускается некоторый риск.
• 7. Критерий Гермейера. Как и критерий Вальда, этот критерий ориентирован на наилучший из наихудших исходов, но с учетом их вероятности. Решение принимается на основе выбора стратегии, обеспечивающей максимум из минимальных значений а-, умноженных на их вероятность (т.е. вероятность соответствующего состояния s): шах min а_вр-_г

J j j J J

Этот критерий обобщает максиминный пессимистический критерий; в случае равномерного распределения р_} = 1 /п (предположение критерия Лапласа) критерий Гермейера и критерий Вальда дают идентичные результаты.

Применение данного критерия оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими признаками:

• • вероятности состояний природы неизвестны, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;
• • необходимо считаться с наихудшим из возможных вариантов;
• • решение может реализоваться один или несколько раз;
• • допускается некоторый неоцениваемый риск.

Если функция распределения точно неизвестна, а число реализаций мало, то, следуя критерию Гермейера, ЛТТР идет на неоправданно большой риск.

8. Критерий произведений. Выбирается стратегия, обеспечивающая максимум произведения всех элементов данной строки: шах Пя,.

* j

Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами:

• • вероятности состояний природы неизвестны;
• • необходимо считаться с каждым из возможных состояний по отдельности;
• • решение может реализоваться один или небольшое число раз;
• • допускается некоторый неоцениваемый риск.

Критерий произведений предполагает, что все a_i} положительны. Если это условие нарушается, то его можно обеспечить путем прибавления ко всем элементам некоторой константы а > | пнпя-1, например а = | пнпя-1 + 1.

и и

Результат при этом будет зависеть от выбора величины а. Поэтому данный критерий следует использовать с большой осторожностью.

9. Составной критерий Вальда и Байеса — Лапласа. Этот критерий сконструирован для лучшего отражения и учета особенностей имеющейся ситуации и объединяет в себе принципы критериев Байеса — Лапласа и максимина.

Определяется максимин а.. = max min я.

Г ~ *0J0 j j v

По каждой строке определяются три значения:

а) математическое ожидание результата ЛИР по каждой стратегии: X a_tjpj,

j

• б) разность между максиминным значением и наименьшим значением по строке: a_{k h} — min я-.;
• в) разность между максимальным значением по строке max я. и наи-

j

большим значением maxя, —_о - той строки г₀, в которой находится максимин я,: max я_п — max я,.

lojo j V j 'QJ

Выбираются те стратегии ЛПР, которые дают наибольшее математическое ожидание (и. а)) при соблюдении следующих условий:

• • значение разности, определяемой в п. б), должно быть меньше или равно некоторой заданной величине потерь г;
• • значение, определяемое в и. в), должно быть больше значения, определяемого в п. б).

Применение данного критерия оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими признаками:

• • вероятности состояний природы неизвестны, однако имеется некоторая априорная информация в пользу какого-либо определенного распределения;
• • необходимо считаться с появлением различных состояний, как по отдельности, гак и в комплексе;
• • решение может реализоваться один раз или многократно;
• • допускается ограниченный риск.

Данный критерий считается достаточно надежным, но поскольку величина потерь (и соответственно, уровень риска) задается ЛПР субъективно, влияние субъективного фактора хотя и ослаблено, но не исключено полностью.

Условие та ха- — max а^ - > г существенно в тех случаях, когда решение реализуется только один или малое число раз. В этих условиях недостаточно ориентироваться на риск, связанный только с невыгодными внешними состояниями и средними значениями. Из-за этого, однако, можно понести некоторые потери в удачных внешних состояниях. При большом числе реализаций важность этого условия уменьшается.

Рекомендуется использовать различные критерии для получения обоснованного решения. Если результаты использования рассмотренных критериев совпадают, выбор стратегии ЛПР очевиден. Но вследствие различных требований, предъявляемых к этим критериям, они часто дают разные результаты. В этом случае необходимо попытаться получить дополнительную информацию о среде, либо ориентироваться на критерий, который больше подходит для данной ситуации, либо воспользоваться дополнительными критериями.

Рассмотрим пример^[1]. При работе ЭВМ необходимо периодически приостанавливать обработку информации и проверять ЭВМ на наличие в ней вирусов. Приостановка в обработке информации приводит к определенным экономическим издержкам. Если вирус вовремя не обнаружен, возможна потеря и некоторой части информации, что приведет к еще большим убыткам.

Варианты решения: х_{ — полная проверка; х₂ — минимальная проверка; х₃ — отказ от проверки.

ЭВМ может находиться в следующих состояниях: s_{ — вирус отсутствует;

s₂ — вирус есть, но он не успел повредить информацию;

$₃ — есть файлы, нуждающиеся в восстановлении.

Результаты, включающие затраты на поиск вируса и его ликвидацию, а также затраты, связанные с восстановлением информации, представлены в таблице (ден. ед.):

Согласно критерию Вальда следует проводить полную проверку (хj). Такой же результат, естественно, получается при применении критерия Гермейера с р_} = 0,33.

Согласно критерию Лапласа (в предположении, что все состояния машины равновероятны) следует отказаться от проверки (х₃). Если принимаемое решение относится к сотням машин с одинаковыми параметрами, то в данном случае целесообразнее ориентироваться на критерий Лапласа. Если же число машин невелико, целесообразно ориентироваться на критерий Вальда.

Критерий Гурвича с X = 0,5 в качестве оптимальной стратегии указывает на х₃у и это решение сохраняется до X = 0,57, а при больших значениях X оптимальной стратегией становится х_{.

Применение критерия Ходжа — Лемана (/; = 0,33, v = 0,5) рекомендует вариант х_{ (полная проверка). Смена рекомендуемой стратегии происходит только при v = 0,94. Поэтому предположение о равномерном распределении состояний рассматриваемой машины слабо влияет на решение.

Составной критерий Вальда и Байеса — Лапласа предписывает принять решение х₃ (отказ от проверки) только тогда, когда ЛПР допускает довольно большую степень риска (г > 15, что соответствует возможным потерям 15 ден. ед. и более, а эго достаточно высокое значение в сравнении с затратами, приведенными в таблице). Иначе оптимальным оказывается х_{.

Задание: проверьте полученные результаты самостоятельно и обоснуйте окончательное решение.

• [1] Микишина В. С. Теория принятия решений / В. С. Микишина, Н. Б. Назина. Сургут: Изд-во Сургутского университета, 2007.