Вывод формулы для определения фиктивных сил

Рассмотрим часть некоторого ломаного бруса с узловыми точками п- 1, и и w + 1, показанную на рис. 5.25, а. Эпюра перемещений этих узлов по вертикали, изображенная на рис. 5.25, б, по внешнему виду напоминает эшору моментов Мф в какой-то фиктивной системе от сосредоточенных сил W.

По эпюре моментов Мф (равных перемещениям v) всегда можно установить величины сил W. Для этого необходимо определить две поперечные силы, слева и справа от искомого груза. Так, например, для точки п

Puc. 5.25.

Таблица 53

но на основании зависимости dM/cbc = Q имеем

Так как Мф = v_t то.

Таким образом, фиктивный груз в точке п равен изменению угла между двумя прилегающими к узлу п элементами и согласно формуле (5.37) равен некоторому групповому перемещению, зависящему от трех прогибов v"_, v_n и v"_+i, каждый из которых берется в своем масштабе с масштабными коэффициентами соответственно 1 /d", l/d" + l/rf"+i и t/d"+.

Учитывая, что каждому перемещению соответствует свой коэффициент, следует к заданной системе приложить групповое воздействие, показанное на рис. 5.25, в. Указанное групповое воздействие представляет собой две пары сил, моменты которых равны единице и направлены в разные стороны.

Такое воздействие вполне соответствует формуле (5.36), по которой фиктивный груз по своему физическому смыслу равен изменению угла между двумя прилегающими к узлу п элементами заданной системы. Если внутренние силовые факторы от этого воздействия соответственно обозначить М", N" и Q", тогда по формуле Мора получим.

Здесь Мр, Np, Qp определяются в заданной системе от заданной нагрузки; М," N", Q_n — то же, но от группового воздействия, показанного на рис. 5.25, в.

Эпюры М," N_n и <2″ распространяются только в пределах двух прилегающих панелей, так как группа сил, показанная на рис. 5.25, в, представляет собой взаимно уравновешенные пары.

Формула (5.38) позволяет определить фиктивные грузы для любых систем (балок, арок, ферм и т. п.). При определении перемещений по какому-либо направлению, например под углом, а к вертикали, найденные г рузы W необходимо приложить к фиктивной системе под этим же углом. Для создания фиктивной системы необходимо в каждом случае проводить анализ, используя табл. 5.3.

Если эпюру М_Р от заданной нагрузки строить со стороны растянутого волокна и фиктивную нагрузку направлять в сторону ординат эпюры М", то эпюра фиктивных моментов, также построенная со стороны растянутого волокна, в точности совпадает по величине и направлению с эпюрой прогибов.

Рассмотрим на примерах применение метода фиктивных грузов.

Пример 1. Построим эпюру перемещения узлов ломаного бруса (рис. 5.26, а) по направлению пол углом 45° к вертикали. Будем учитывать только первый член в формуле (5.38), так как деформации от Np к Qp в изгибаемых элементах малы. Основное влияние на перемещение оказывают деформации от изгиба. Жесткости EJ всех элементов примем одинаковыми.

Рис. 5.26.

Эпюры Мр, М, М₂ и М₃ показаны на рис. 5.26, б — д. Фиктивная система изображена на рис. 5.26, е.

Опуская вычисления по правилу Верещагина, приведем окончательные значения грузов W: W = 1440/(?/); W₂ = 1833,3/(EJ); № 3 = 706,7/0ЦП; ^ГРУ^{34 не} вычислен, так как в фиктивной балке он попадает в заделку и момент от него будет равен нулю.

Моменты от грузов Wb фиктивной бачке, равные искомым перемещениям, будут М = 0; М₂ = 6110/(?/); М₃ = 22 312,8/(?/); М_А = 39 200/(EJ).

Эпюра перемещений изображена на рис. 5.26, е.

Пример 2. Построим линию прогибов узлов нижнего пояса фермы, изображенной на рис. 5.27, а. Жесткости всех элементов одинаковы и равны ЕЕ. Значения усилий от внешней нагрузки Р проставлены около каждого стержня на рис. 5.27, а.

Для определения фиктивного груза W (в узле 2) к ферме приложено групповое воздействие в виде двух пар с моментами, равными единице (рис. 5.27, б). От этой взаимно уравнове;

Рис. 5.27.

шенной группы сил усилия N₂ возникают в стержнях только в пределах двух панелей; в остальных стержнях, показанных пунктиром, усилия равны нулю. Па рис. 5.27, в показаны усилия N₃, необходимые для вычисления W₃.

Фиктивный груз W4 = W₂y поэтому его вычислять не нужно.

Так как в элементах фермы возникают только продольные силы, то первое и третье слагаемые формулы (5.38) равны нулю. Кроме того, каждое усилие Л^гна протяжении длины стержня не меняется, поэтому.

Окончательно имеем.

где Sj — длина i-го стержня.

Вычисление грузов W удобно проводить в табличной форме. В табл. 5.4 и 5.5 показано вычисление V₂ и W₃.

Найденные в приведенных таблицах грузы надо приложить к фиктивной системе (рис. 5.28, а) и построить от них эпюру моментов, которая будет линией прогибов узлов нижнего пояса фермы, показанной на рис. 5.28, б.

Таблица 5.4

Определение W₂

V₂ = W₄ = 5,5448.

Таблица 5.5

Определение W₃

V₃ = 6,5448.

Рис. 5.28.

Для построения линии прогибов узлов верхнего пояса этой фермы необходимо определить фиктивные грузы W_Cv W₇, Wg и Wg. Для этого групповые воздействия в виде пар сил надо прикладывать к верхним узлам и заново вычислять силы W. К фиктивной балке их следует приложить под узлами 6, 7, 8 и 9.