Работа внутренних сил линейно-деформируемой системы

Будем рассматривать плоские стержневые системы, в элементах которых от статического действия внешних сил возникают деформации и внутренние силы. К числу последних относятся продольные и поперечные силы, а также изгибающие моменты. Рассмотрим деформации малого элемента, вырезанного из какого-либо стержня, принадлежащего линейно-деформируемой системе (рис. 5.8).

Рис. 5.8.

Приложим к этому элементу равнодействующие внутренних сил М, N и Q, которые для данного малого элемента являются как бы внешними силами. За счет деформации элемента по направлению этих сил возникнут перемещения, и поэтому указанные силы произведут работу, которая, так же как для внешних сил, делится на действительную и виртуальную (возможную) работу.

Прежде чем вычислять работу внутренних сил, сделаем одно важное замечание. Из рис. 5.8 легко представить, что действительная работа силовых факторов А/, N и Q, которые по отношению к вырезанному элементу^{являются} внешними силами, всегда будет положительной. Так, например, при растяжении элемента ds силой N этот элемент удлинится, поэтому перемещение совпадает с направлением действия силы N. Точно так же взаимный угол поворота сечений совпадает с направлением действия моментов. Поэтому действительная работа момента будет положительной. То же самое можно сказать и о действительной работе поперечной силы. Однако внутренние силы для системы в целом противодействуют удлинению или изгибу, поэтому их работа будет отрицательной, следовательно, в формулах для подсчета работы внутренних сил необходимо ставить знак «минус».

Рис. 5.9.

Вычислим действительную работу силовых факторов М, N и Q. Обозначим действительную работу внутренних сил буквой W. При действии продольной силы N элемент ds удлинится, как показано пунктиром на рис. 5.9, на величину Ads. По закону Гука Ads = Nds/(EF), где EF — жесткость стержня при растяжении (сжатии).

Действительная работа внутренних сил за счет деформации малого элемента ds будет равна.

Рис. 5.10.

При действии изгибающего момента элемент ds изогнется, как показано на рис. 5.10. Нейтральная ось искривится, но длина ее не изменится. Момент М произведет суммарную работу у^Мб/ф, но d = Mds/(EJ), где EJ — жесткость стержня при изгибе, поэтому действительная работа внутренних сил за счет изгиба от действия момента М будет.

При действии поперечной силы Q касательные напряжения распределены по высоте сечения неравномерно, а еле;

Рис. 5.11.

довательно, и сдвиги разных волокон по высоте сечения различны. На рис. 5.11 показан элемент ds в пространстве. На площадке dF, расположенной на расстоянии у от нейтральной оси Z, возникает касательная сила, равная x_ydF. По закону Гука угол сдвига волокна будет у = т/G, где G — модуль сдвига, а взаимное смещение двух торцов волокна будет равно (x/G)dF. Элементарная работа силы x_tJdF будет.

Для определения работы силы Q необходимо просуммировать работы всех элементарных сил по площади F поперечного сечения. Тогда работа внутренних сил за счет деформации сдвига малого элемента будет равна.

Здесь x_y = QSz^TC/(Jzb_y) — касательные напряжения при изгибе, при этом 5^^тс — статический момент отсеченной части сечения относительно оси Z; J? — момент инерции всего сечения; Ь_у — ширина сечения на расстоянии у от нейтральной оси Z.

Подставляя выражение для х_у в формулу (5.12) и вынося за знак интеграла постоянные величины, получим.

F S^OTC^.

Легко заметить, что величина К = I «Т» dFявляет;

GJz i by J.

ся безразмерной, она зависит от формы сечения и поэтому для разных типов поперечных сечений (прямоугольник, круг, двутавр и т. п.) должна быть найдена отдельно. Так, например, для прямоугольного сечения К = 1,2. Суммируя значения (5.11), (5.10) и (5.13) для элемента ds_y получим.

Для того чтобы получить действительную работу для одного стержня, необходимо проинтегрировать предыдущее выражение:

Для стержневой системы в целом произведем суммирование значений (5.14) для всех ее элементов. Окончательно получим.

Выражение (5.15), взятое с обратными знаками, носит название потенциальной энергии системы, которая будет равна.

За счет потенциальной энергии при снятии нагрузки и происходит восстановление размеров и формы разгружаемой системы. При полном снятии нагрузки потенциальная энергия обратится в ноль. Из формулы (5.16) очевидно, что потенциальная энергия всегда положительна.

Перейдем к вычислению виртуальной работы внутренних сил. Так же как при определении виртуальной работы внешних сил, будем определять виртуальную работу внутренних сил М, ЛГи Q на перемещениях, вызванных не этими силами, а какими-либо иными причинами, например другими силами.

Таким образом, нам придется рассматривать два состояния упругой системы. Обозначим эти состояния буквами т и п. Пусть в состоянии т под действием внешних сил возникли внутренние силы М_т, N_m и Q,". После этого на систему подействовали другие силы состояния п и возникли дополнительно внутренние силы М_п, N_n и Qt_V

Рассмотрим сначала работу силы N_m, которая, будучи приложена к системе, не изменяет своего значения. Перемещение по направлению силы N_m вызовет только продольная сила N_n (от момента М и поперечной силы Q элемент ds не удлиниется). От силы N" возникнет перемещение А_тп = N_nds/(EF). При подсчете работы неизменной силы N_n на «чужом» перемещении коэффициент ½ вводить уже не нужно. Поскольку речь идет о работе внутренних сил, она принимается со знаком «минус». Таким образом,.

Рассуждая так же при определении виртуальных работ момента и поперечной силы на «чужих» перемещениях, получим.

Дальнейшие выводы для определения виртуальной работы по форме совпадут с теми, которые мы привели при выводе действительной работы. Опуская эти выводы, приведем окончательный результат. Виртуальная работа внутренних сил для плоской стержневой системы будет определяться равенством.

В этой формуле моменты М_т и М" могут иметь одинаковые или разные знаки. Учитывая их, будем получать решение с соответствующим знаком. Так как перестановка местами внутренних сил со знаками т и п не изменит величин интегралов, входящих в правую часть равенства (5.17), то.

Равенство (5.18) определяет взаимность виртуальных работ внутренних сил, которая формулируется следующим образом: виртуальная работа внутренних сил состояния т при деформации, возникающей за счет внутренних сил состояния п, равна виртуальной работе внутренних сил состояния п при деформации от внутренних сил состояния т.