Основные уравнения плоской задачи теории упругости

Вырежем из пластины малый элемент со сторонами сЬс и dy (рис. 14.11, а). Напишем обобщенный закон Гука.

Составим векторы (матрицы-столбцы).

Тогда уравнения (14.1) можно записать в матричной форме.

или кратко.

Рис. 14.11.

где.

Легко установить, что после перемножения матрицы D на вектор 6 получим три уравнения (14.1).

Из уравнения (14.4) легко установить обратную зависимость.

Теперь установим связь между перемещениями и деформациями. Пусть элемент, показанный на рис. 14.11, а, после того как пластина деформировалась, занял новое положение (рис. 14.11, б). Точки 1, 2, 3 и 4 переместились в точки Г, 2', 3' и 4'. В результате деформации всей пластины вырезанный элементарный прямоугольник изменил размеры и форму за счет сдвигов.

Сложные перемещения разложим на три составляющих: перемещения вдоль осей х и у, перекос за счет сдвигов на угол у,. Первая составляющая перемещения показана на рис. 14.11, в. Если точка 1 переместилась вдоль осихв новое положение на величину и_х, то точка 2 переместилась на величину и_х + Аи_х:

Длина элемента стала больше на величину.

Удлинение оказалось равным.

Рассуждая так же при рассмотрении перемещений по вертикали на и_у, получим.

Без вывода приведем выражение для у_хи:

В результате получим так называемые уравнения Коши, связывающие перемещения и с деформациями:

Эти уравнения также можно записать в матричной форме:

или.

где.

Уравнения равновесия напишем без вывода (уравнения Навье):

где.

Здесь W_x и W_y — объемные силы (силы веса, силы инерции или магнитного притяжения), приходящиеся на единицу объема.

Если вектором W можно пренебречь, то уравнения (14.8) превратятся в систему.

Итак, имеем основные уравнения плоского напряженного состояния.

На основании этих уравнений можно записать.

Приведенные в этом параграфе формулы позволят построить переходные формулы от перемещений к напряжениям в методе конечных элементов.