Оценка надежности систем, построенных в виде цепи

Часто последовательные системы состоят из одинаковых элементов (грузовая или приводная цепь, зубчатое колесо, в котором элементами являются звенья, зубья, и т. д.). Если нагрузка имеет рассеяние по системам, то приближенную оценку надежности системы можно получить общим методом, изложенным в подразд. 4.2 и 4.3.

Рассмотрим более точный и простой метод оценки надежности для частного случая последовательных систем — систем, построенных в виде цепи при нормальном распределении несущей способности, элементов и нагрузки по системам.

Закон распределения несущей способности цепи, состоящей из п одинаковых элементов, соответствует распределению минимального члена выборки, т. е. ряда п чисел, взятых случайным образом из нормального распределения несущей способности элементов. Этот закон отличается от нормального (рис. 4.1) и тем существеннее, чем больше п. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение снижаются с увеличением п. В теории экстремальных распределений (раздел теории вероятностей, занимающийся распределениями крайних членов выборок) доказано, что рассматриваемое распределение с ростом п стремится к двойному экспоненциальному. Этот предельный закон распределения несущей способности R цепи p (R > F₀) (F₀ — текущее значение нагрузки) описывается следующим выражением:

где 5 и 0(0 > 0) — параметры распределения.

При реальных (малых и средних) значениях п двойное экспоненциальное распределение непригодно для использования в инженерной практике из-за существенных погрешностей расчета. Идея предлагаемого метода заключается в аппроксимации закона распределения несущей способности системы нормальным законом. Аппроксимирующее и реальное распределения должны быть близкими как в средней части, так и в области малых вероятностей, так как именно эта область распределения определяет вероятность безотказной работы системы. Поэтому при определении параметров аппроксимирующего распределения выдвигаются условия равенства функций аппроксимирующего и реального распределения при медианном значении и значении несущей способности системы, соответствующему вероятности безотказной работы системы.

После аппроксимации вероятность безотказной работы системы, как обычно, находят по квантили нормального распределения, представляющего собой разность двух нормально распределенных случайных величин — несущей способности системы и нагрузки на нее.

Пусть законы распределения несущей способности элементов R_k и нагрузки на систему F описываются нормальными распределениями с математическими ожиданиями соответственно m_Rk и m_F и средними квадратическими отклонениями S_Rt и S_F. Тогда, учитывая, что значения математических ожиданий и средних квадратических от;

Рис. 4.1. Плотность распределения несущей способности цепи в зависимости от числа компонент:

/ — л = 100; 2-и=10; 3-п=1.

клонений несущей способности ниже у системы (цепи), чем у элементов, можно предложить простейшие выражения для математического ожидания m_R и среднего квадратического отклонения S_R нормального распределения, аппроксимирующего распределение несущей способности системы:

где ц и е — некоторые коэффициенты (ц > 0; 0 < е < 1), зависящие от я, а е зависит также от м_р.

Назовем величину ц параметром положения, а величину е — параметром рассеяния. Значения ц и s приведены в табл. 4.1 и на рис. 4.2. Разность несущей способности систем и нагрузки на нее описывается нормальным распределением с математическим ожиданием m_R — m_F и средним квадратическим отклонением.

S = JS_R + Sj. Поскольку квантиль нормального закона и_р, характеризующий вероятность безотказной работы системы p (R > F), связан с параметрами этого закона формулой m_R= m_F+ u_pS = 0, получаем.

Вместо средних квадратических отклонений S_Rk, S_R, S_F можно рассматривать соответствующие коэффициенты вариации s S S

v_R =——; u_R = v_F = ожидания выразить через условные m_Rk m_R m_F

Рис. 4.2. Параметры распределения несущей способности системы: а — положения; 6 — рассеяния.

— ^mR> ^

запасы прочности по средним значениям п =—-. Тогда форму;

m_F

лы (4.18)—(4.20) принимают следующий вид:

Учитывая, что параметры распределения р и г зависят от и_р, расчеты по формулам (4.20) и (4.23) ведут методом последовательных приближений. В качестве первого приближения для определения р и с принимают и_р = -1,281 (соответствует р = 0,900).

Результаты расчетов по формуле (4.23) с подстановкой в нее величин р и е, взятых из табл. 4.1 при разных характерных значениях я,, Vf_y приведены в табл. 4.2.

По данным табл. 4.2 можно ориентировочно оценивать надежность систем типа цепи при рассеянии нагрузки по системам в достаточно широком диапазоне изменения несущей способности звеньев, нагрузки на цепь и числа звеньев.

Для оценки точности этого метода определения вероятности безотказной работы системы типа цепи были проведены расчеты Таблица 4.2.

Примечание. Если вместо рассеяния нагрузки по системам имеет место рассеяние нагрузки по элементам, вероятность безотказной работы элемента p (R_k> F)

п -1.

оценивается по квантилю и_р нормального распределения, где и_р = -. а.

№ w.

вероятность безотказной работы системы p (R > F) = jf (R_k > F). В этом случае для значений параметров, взятых из табл. 4.2, оценки p (R? F) при п = 10 получаются равными 0,905; 0,970; 0,998, а при п = 100 — 0,663; 0,74; 0,905. Сопоставляя результаты с данными табл. 4.2, видим, что расчет в предположении рассеяния нагрузки по элементам, а не по системам существенно занижает показатель надежности системы.

на ЭВМ по точной (4.14) и упрошенной (4.23) формулам. Число элементов принимали равным п = 1; 10; 100; 1000 условные запасы прочности п = 1,5; 2,0; коэффициенты вариации несущей способности элементов v_R = 0,1; 0,2; 0,3 и коэффициент вариации нагрузки Vp = 0,2. При этом данные табл. 4.1 были аппроксимированы следующими выражениями:

е = е₀(1 — 0,02 м_р)при е^< 0,5; е = е₀ — 0,102(1 — е₀)и_р при е₀ > 0,5, где е₀ — параметр рассеяния е, соответствующий и_р = 0.