Расчет цепей с помощью законов Кирхгофа

Наиболее часто встречаются задачи, когда известны все сопротивления, источники тока и ЭДС, а определить требуется все токи в ветвях разветвленной цени [ 1 —41.

Последовательность расчета следующая:

• произвольно задают положительные направления токов в ветвях;

• • обозначают направления обхода контуров;
• • записывают уравнения по первому и второму законам Кирхгофа;
• • решают уравнения;
• • проверяют правильность расчета, составляя энергетический баланс.

Если в цепи имеется х ветвей и у узлов, в том числе Xj ветвей с источниками токов, то необходимо составить х — х, уравнений для определения токов во всех ветвях. При этом число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, равно у — 1, по второму закону Кирхгофа — хXj — (у — 1).

Для проверки правильности расчетов определяют сумму мощностей, генерируемых источниками, и сравнивают ее с суммой мощностей всех потребителей:

Слагаемые I²R всегда положительны, а слагаемые EI берут со знаком «минус», когда направления Е и I встречные. Если баланс не получается, то токи определены неправильно.

Рис. 23. Электрическая цепь и ее г раф:

а — схема цепи; б — дерево графа; в — граф цепи Для электрических цепей с большим числом ветвей при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа возможно получение зависимых уравнений. Чтобы этого не случилось, необходимо ввести в каждое уравнение какую-либо новую ветвь. Проще всего это сделать, используя теорию графов. Граф содержит столько вершин, сколько в схеме узлов, а вершины графа соединяются ветвями так же, как соединены узлы в схеме. Для расчета вначале рисуют дерево графа, соединяя все узлы цепи ветвями так, чтобы не образовывалось контуров (возможно несколько вариантов таких соединений). Затем поочередно дорисовывают недостающие ветви (их называют хордами). При этом будут каждый раз образовываться контуры. Для каждого такого контура записывают уравнение по второму закону Кирхгофа. В качестве примера, на рис. 2.3, а представлена схема электрической цепи, па рис. 2.3, б — дерево графа, на рис. 2.3, в — пунктиром проведены хорды и стрелками показаны образованные контуры.

Пример 2.1.

Определить токи в ветвях схемы, приведенной на рис. 2.4, если ?) = 110 В, Е₂ = 64 В J = 4 A; /?, = 6 Ом, R-, = 4 Ом, R₃ = 3 Ом; Д₄ = 1 Ом.

Решение. Задаем положительные направления токов в ветвях (см. рис. 2.4) и направления обхода в контурах. Определяем, что число ветвей х = 5, в том числе с источником тока X) = 1, а число узлов в схеме у = 3 (в узле «с» сходятся четыре ветви).

Рис. 2.4. Схема электрической цепи к примеру 2.1

2. По первому закону Кирхгофа составляем два уравнения (например, для узлов а и Ь)

При этом ток источника тока считаем, как известный ток в соответствующей ветви.

3. По второму закону составляем х — х, — (у - 1) = 5 — 1 — 2 = 2 уравнения: для левого контура IR — R₂I₂ = Е + Е₂, для центрального контура I₂R₂ + I3P3 + + /₄/?₄ = -Е₂.

При этом слагаемые берем со знаком «плюс», если направление тока или ЭДС совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «минус», если не совпадает. Контур с источником токаJ образовывать нельзя, так как в него должно быть включено бесконечно большое сопротивление источника тока/.

• 4. Решая полученную систему уравнений 1_{ + /₂ — /3 = 0; /₃ + 4 — /₄ = 0; 6/₄ — - 4/₂ = 110 + 64; 4/9 + З/3 + /₄ = -64, определяем 1 = 17,5 A; U = -17,25 А; /₃ = 0,25 А; /₄ = 4,25 А.
• 5. Определяем суммарную мощность, выделяющуюся в сопротивлениях: Р = = /,²Д, + It II, + liR₃ + it Hi = 3046 Вт.

Определяем суммарную мощность, генерируемую источниками:

Перед слагаемыми Е₂1₂ поставлен знак «минус», потому что ток /₂ и ЭДС Е₂ направлены встречно. При подстановке значения тока /₂ = -17,25 А получается положительная мощность, генерируемая вторым источником.

Так как суммарные мощности, генерируемые источниками, оказались равны суммарным мощностям потребителей, т. е. Р_И = Р= 3046 Вт, то токи в ветвях определены правильно.