Спонтанные и вынужденные переходы. 
Коэффициенты Эйнштейна

Многочисленные эксперименты показывают, что атом не может бесконечно долго находиться в возбужденном состоянии. По истечении некоторого времени возбужденный атом освобождается от излишка своей энергии с помощью испускания фотона, переходя в состояние с меньшей энергией. Существуют еще так называемые безызлучательные переходы, которые не сопровождаются появлением фотонов, характерных для данного атома. Примеры безызлучательных переходов будут рассмотрены далее.

Излучение отдельным возбужденным атомом происходит независимо от других атомов в разные моменты времени. Поэтому можно говорить о среднем времени жизни атома в возбужденном состоянии. Переходы возбужденных атомов с излучением происходят «сами собой». Из-за этого их называют спонтанными, или самопроизвольными. Излучение при спонтанных переходах является некогерентным.

Возникает вопрос: можно ли считать возбужденное состояние стационарным, т. е. существующим бесконечно долго, если атом находится в нем в течение конечного промежутка времени. Чтобы ответить, надо сравнить соответствующие времена. Как показывает опыт, характерное время жизни атома в возбужденном состоянии 1(Г⁷…1(Г⁹с, что очень мало. Однако в атомных масштабах оно является довольно большим и оказывается на много порядков больше периода колебаний излучения атома. Например, в оптическом диапазоне частота излучения имеет порядок 10¹⁴ Гц, т. е. период порядка 10″ ¹⁴ с. Поэтому рассмотрение возбужденного состояния как стационарного вполне оправдано.

Существуют также вынужденные переходы, которые происходят под действием внешнего поля. В этом случае атомы поглощают энергию поля, переходя в возбужденное состояние, или вынужденно излучают, переходя в состояние с меньшей энергией. Если точно известно, что в начальный момент времени атом находится в некотором состоянии с энергией 2Г_Л, то вероятность этого события равна 1, т. е.

величина |д_л(0)|² = 1 (см. (2.31)). Под влиянием внешнего поля атом совершит переход в другое состояние с энергией Е_т. Вероятность того, что в момент времени / атом будет находиться в этом состоянии, определяется величиной |e_m(/)| «которая таким образом характеризует вероятность перехода из состояния п в состояние т. С такими вероятностями связаны коэффициенты Эйнштейна, играющие важную роль в теории излучения. Последовательное вычисление вероятностей перехода (и коэффициентов Эйнштейна) проводится с помощью решения уравнения Шредингера по методу теории возмущений^[1]. Ограничимся нестрогим подходом, который в принципе приводит к тем же результатам.

Рис. 2.27.

Рассмотрим два каких-нибудь состояния атома с энергиями Е_т и ?_л, причем Е_т > Е_п (рис. 2.27). Вводится вероятность спонтанного перехода в единицу времени Л_тп из состояния т в состояние п. Величина А имеет смысл среднего числа актов излучения в единицу времени, приходящихся на один атом. Допустим, что в момент времени / в состоянии Е_т находится N (t) атомов, образующих разреженный газ. За время dt произойдет dz_mn = A_mnN_mdt переходов в состояние Е_п. Величина dz_mn определяет уменьшение числа атомов, находившихся в момент времени t в состоянии Е. т. е. -dN_m = А…N dt. Решая это уравнение, получаем, что число атомов в возбужденном состоянии Е вследствие спонтанных переходов уменьшается по закону:

Величину dN_m/N_m(0) можно рассматривать как меру вероятности спонтанного перехода атомов за время dt. Тогда среднее время такого перехода, понимаемое как среднее время жизни атома в возбужденном состоянии т, можно определить формулой.

Таким образом, вероятность спонтанного перехода в единицу времени есть обратное среднее время жизни атома в возбужденном состоянии: А_тп = 1/т_ш. Плотность потока излучения согласно (2.139) уменьшается со временем по закону:

Если атом, находящийся в состоянии ?_я, помещен во внешнее электромагнитное поле с частотой (о, то он поглощает энергию поля при совпадении этой частоты с частотой со^ = (Е_т — E^jh и переходит в возбужденное состояние Е_т. Пусть р_ш — спектральная плотность энергии электромагнитного излучения. Вводят величину.

Этой величине придают смысл вероятности поглощения излучения атомом в единицу времени.

Наряду с процессом поглощения, в результате которого происходит переход п—>т, может существовать обратный процесс — вынужденное, стимулированное_у или индуцированное испускание при переходе т—*п под воздействием внешнего электромагнитного поля, частота которого равна частоте перехода. Такой процесс характеризуется величиной.

Эта величина определяется как вероятность индуцированного излучения в единицу времени.

Коэффициенты А. В". 5… были введены Эйнштейном в.

1916 г. и называются коэффициентами Эйнштейна. С их помощью он дал изящный вывод формулы Планка для плотности энергии равновесного излучения. Между коэффициентами Эйнштейна существуют соотношения:

Коэффициенту (или у) называется статистическим весом, или кратностью вырождения л-го (или т-то) состояния.

Как уже было сказано, вычисление вероятностей перехода (коэффициентов Эйнштейна) проводится последовательно по правилам квантовой механики. Однако окончательные результаты можно получить с помощью простых полуклассических рассуждений.

Электроны и положительное ядро, входящие в состав атома, образуют электрически нейтральную систему зарядов. Из классической электродинамики известно, что поле ограниченной электрически нейтральной системы движущихся зарядов можно представить в виде суммы полей мультиполей: это — поле электрического диполя, затем поле электрического квадруполя и магнитного диполя и т. д. Разложение поля излучающей системы зарядов по мультиполям возможно, если линейный размер этой системы r_Q мал по сравнению с длиной волны излучения X:

Поля электрического квадруполя и магнитного диполя оказываются в г₀/Х раз меньше поля электрического диполя. В случае излучающего атома величина г₀ определяется размерами атома: г₀«10″ ⁸см. В оптическом диапазоне длина волны Х"1(Г⁴.Л (Г⁵ см. Таким образом, для оптического диапазона параметр г₀/Х^Ю»⁴.ЛО^-3 ^ 1. Следовательно, основным типом излучения возбужденного атома должно быть электрическое дипольное излучение.

Мощность излучения электрического диполя (энергия, излучаемая диполем в единицу времени), колеблющегося с частотой со, описывается формулой.

где d = er — электрический дипольный момент. При спонтанном переходе за среднее время жизни атома т высвечивается фотон с энергией Лео. Следовательно, мощность излучения равна:

Сравнивая (2.147) и (2.148), получаем.

К такому же результату можно прийти с помощью строгого квантово-механического расчета. При этом под т надо понимать т_т, а под ег — матричный элемент дипольного момента:

где _x, i^, — единичные векторы декартовой системы координат.

Таким образом, при квантовом расчете вероятность спонтанного излучения в единицу времени определяется формулой.

где.

Матричный элементх_тп согласно (2.32) определяется формулой.

где фЦ*, — собственные волновые функции атома в стационарных состояниях п_у т. Если л = /и, то х_пп есть просто среднее значение величины х (аналогично для переменных у у z) в собственном состоянии ф".

Отметим, что вероятность спонтанного излучения в единицу времени (2.150) пропорциональна кубу частоты перехода и квадрату среднего дипольного момента.

Оценим среднее значение дипольного момента в случае оптического излучения, считая, что т~ 10^-8с, частота и) ~ 10¹⁴ Гц. Тогда d² ~ 8,7* 10^-53 (м-Кл)². Предположим, что такой же порядок (или меньше) дипольного момента сохраняется и в радиочастотном диапазоне, где (о ~ Ю¹⁰ Гц. В этом случае среднее время жизни атома оказывается очень большим: т~ 10⁴ с, а вероятность спонтанного перехода А ~ 10^_4с^_|. Это значит, что в радиочастотном диапазоне спонтанное излучение не имеет большого значения.

Вероятность (2.150) найдена в дипольном приближении. Отношение интенсивности электрического квадрупольного излучения к интенсивности электрического дипольного излучения пропорционально г₀/Х. Интенсивность излучения связана согласно (2.148) с вероятностью спонтанного перехода: А= — «—. Поэтому, если для т Лоз возбужденных состояний атома возможны электрические дипольные переходы, то именно они имеют максимальную вероятность, а квадрупольные и магнитодипольные маловероятны: их вероятность примерно в 10⁵ раз меньше вероятности электрических дипольных переходов. Если же они происходят, то интенсивность соответствующих спектральных линий оказывается гораздо слабее интенсивности при электрических дипольных переходах. Тип мультипольного излучения различают по его угловой зависимости. Интенсивность в случае электрического дипольного излучения зависит от угла наблюдения по закону /, =dr, sin²0, а при квадрупольном излучении изменяется по закону /₂ = а₂ sin² 20, где а₁₉а₂ — некоторые постоянные.

ЗАДАЧИ.

1. Вывести формулу Планка для равновесного излучения по методу Эйнштейна.

Решение. В состоянии равновесия число переходов т-*п с излучением dz_mn = (А_тп + В_пт Р_ш)#_т должно быть равно числу обратных переходов.

N В р с поглощением dz_nm = В_пт р_шМ_п. Отсюда —^2L =-«» «—. Используя.

** л ^тп **тп Р (1).

распределение Больцмана N_т =Cg_mt~^Em^^kT, где С — постоянная нормировки; g_m — кратность вырождения (статистический вес) уровней энергии, и учитывая, что Е_т— E_n — hсо, получаем.

При h (D<*:kT справедлива классическая теория излучения Рэлея-Джинса, согласно которой при Т—>оо плотность энергии излучения р —>оо по закону: р =-®-гкТ. В этих условиях из форму;

1С (Г

лы (1) следует соотношение B_nmg_n = B_mng_m, а также приближенная формула р ^ ?.^т'±к1. Сравнивая две последние формулы для о, по- 8Лт ^Ла)

Я yj X 3.

лучаем соотношение ^Ьт тп. Тогда из (1) следует формула Планка.

" ₌йш!_!_ «А- ^лс

^ш л Ve^‘^r-r.

2. Показать, что электрическое дипольное излучение атомов является преобладающим над остальными типами излучения.

Решение. Интенсивности электрического дипольного, магнитного дипольного и электрического квадрупольного излучения оцениваются соответственно формулами: I_d /_м ~(м)², I_Q w (—, где d — харак терное значение электрического дипольного момента атома, dsaerjz; М — характерная величина магнитного момента атома, М %ehjm_e; г, —.

радиус первой боровской орбиты; Q"e (r,/z) — характерная величина электрического квадрупольного момента. Учитывая формулы (1.28), (1.29) и определение постоянной тонкой структуры (1.41), получаем.

^_:^:^. ₌ l;(M|²;(0ig|² _{= 1: Z}2_a2_:Z2_a2 А/ I_d l_d yd) [с d)

3. Получить формулу (2.147).

Решение. Электрическое поле колеблющегося диполя в волновой зоне определяется формулой |Е| = 4jte_oc²/?^sin0. Две точки означают вторую производную по времени; 0 — угол между вектором дипольного момента и направлением наблюдения. Средняя интенсивность излучения определяется интегралом J{S^ds, где S — вектор Пойнтинга; ds — элемент поверхности сферы. При гармоническом изменении получаем (2.147).

• [1] См.: Шпольский Э. В. Атомная физика. Т. 2.— М.: Наука, 1984.