Операции над множествами

Основными операциями, производимыми над множествами, являются объединение, пересечение, разность, дополнение, декартово произведение.

Объединением множеств, А и В называется множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств.

х € [А и 5} тогда, когда х е А или х е В и при этом нс исключено, что одновременно х € А и X € В.

Число элементов в объединении множеств не обязательно равно сулеме элементов объединяемых множеств и может быть меньше ее.

Ияввтев, Л = {1, 2, 3}; В = {2, 3, 4}. А и В ={1, 2, 3, 4}.

Пересечением множеств Ап В называется множество всех элементов, принадлежащих каждому из множеств. Для обозначения операции пересечения часто используют знак &.

х <= [А п В], тогда, когда х е А и одновременно х е В.

Операции объединения и пересечения обладают свойствалти:

• — коммутативности — изменение последовательности элементов не влияет на результат операции: А и В = В и А; Ап В = В п А;
• — ассоциативности — группировка элементов не меняет результатов операции: (А’и B) kjC = A В С); (AnB)nC = А п (В пС);
• — дистрибутивности - в соответствии с известными алгебраическими операциями а + (be) = (а + Ь)(а + с) и а (Ь + с) = ab + ос для множеств А, В, С имеем: Au (BnC) = (AvB)n (AvC); An (BvC) = (AnB)yj (AnC);
• — идемпотентности «закон тавтологии» — повторение элемента не изменяет его истинности: АиА = А; Ап А = А;
• — совместимости, когда Akj В = В в том и только в том случае, если Ап В = В, т. е. В = А;
• — поглощения: Аи (Ап В) * А; А п (А*и В) = А.

Непересекающиеся множества образуют пустое множество Ш.

Соотношение X п I = X означает, что множество I содержит все элементы множества X. Соотношение X kj I = / представляет множество, в которое входят как все элементы множества X, так и все элементы множества /. Множество, удовлетворяющее этим условиям, называется универсальным.

где.

3 — квантор существования — символ, который читается как «существует такое х, что…*.

Разностью множеств АВ называется множество всех элементов А, не принадлежащих В.

Разность множеств строго двухместна, т. е. определена только для двух множеств и А В * В А.

Если все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого множества С, то может быть определена операция дополнения.

Дополнением множества А называется множество А, состоящее из элементов, не содержащихся в множестве А. А = {С А). Для обозначения дополнения часто используют знак «-•»: ->А = [С А).

Для пояснения некоторых свойств операций над множествами и различных соотношений между ними используются диаграммы Эйлера-Венна, на которых множества, подлежащие рассмотрению, изображаются в виде совокупностей точек на плоскости (рис. 4.1). Их применение позволяет достаточно просто решить задачи определения числа элементов т (А) множества А.

Рис. 4.1. Диаграммы Эйлера-Венна для иллюстрации соотношения В с: А (а); и операций: Ли В (б), Ап В (а), АВ (г), А = {СА) (д).

Пример. На предприятии электрических сетей (ПЭС) работают 10 рабочих. Трое из них относятся к ремонтному персоналу (множество А), пятеро — к оперативному (множество В), а двое являются неквалифицированными рабочими (множество С). Следовательно: т (А) = 3, т (В) = 5, т© = 2. Множество / рабочих ПЭС содержит т (1) = 10 элементов.

На рис. 4.2 приведена соответствующая диаграмма Венна, где площадь, соответствующая каждому из трех множеств, пропорциональна числу элементов в множестве.

Рис. 4.2. Диаграмма Венна для рабочих ПЭС

Множество Q_t состоящее из рабочих, которые могут одновременно выполнять работы, связанные с оперативными переключениями и ремонтом оборудования, не содержит ни одного элемента, Q = Z = 0 и m (Q) = m (Z) = 0.

Два или большее число множеств, не содержащие общих элементов, называются взаимно исключающими. В данном примере все множества взаимно исключающие.

Множество F рабочих ПЭС, состоящее из оперативного и ремонтного персонала, является объединением множеств А и В: FА + В и содержит m (F) = т (А + В) = т (А) + т (В) = 3 + 5 = 8 элементов.

И в общем случае, если для произвольных множеств X и Y выполняется соотношение ХУ = Z = 0, то.

С помощью диаграммы рис. 4.2 можно определить число рабочих ПЭС за исключением ремонтного персонала: А = В + С. Количественно это составит т (А) = т (В + С) = т (В) + т (С) = 5 + 2 = 7, или гп (а) = т (/)~ т (А) = 10 — 3 = 7. Обобщая эти вычисления для произвольного множества Q, имеем Пусть, кроме того, на ПЭС работают 8 инженеров (множество D), три мастера (множество Е) и 2 мастера, которые одновременно являются инженерами (множество DE). Множество, охватывающее всех сотрудников ПЭС, изображено на рис. 4.3 и содержит 23 элемента.

Рис. 4.3. Диаграмма Пенна для сотрудников ПЭС

При определении числа элементов множества всех квалифицированных работников ПЭС нельзя использовать формулу (4.1), так как DE * Z = 0. По условиям задачи видно, что m (D + Е) = 13, а не 15, что можно было бы получить, ошибочно используя формулу (4.1), по которой дважды учитывались бы элементы, которые являются общими для множеств D и Е, т. е. DE. Таким образом, в общем случае для вычисления числа элементов в объединении произвольных множеств X и Y следует пользоваться выражением.

Пример. Для обеспечения потребителей требуемым количеством электроэнергии при заданных показателях качества, надежности и экономичности должны выполняться условия, определяемые множеством возможных режимов функционирования системы электроснабжения: при нормальной эксплуатации — {V]) при условиях, отличающихся от нормальных, но допустимых — {V₂} при недопустимых условиях — {V3}. Множества состояний, обеспечивающих качество, надежность и экономичность, обозначаются как {К}, {//}, {?}.

Нормальные режимы работы характеризуются состояниями, соответствующими области, где одновременно выполняются условия качественного, надежного и экономичного электроснабжения:

Режимы, отличающиеся от нормальных, можно интерпретировать объединением областей, в которых допустима работа потребителей, исключив из нее нормальные режимы:

Недопустимые режимы функционирования потребителей определятся множеством.

Множества режимов {Fj}, {^>, {F3} можно показать и на диаграммах Эйлера-Венна.

Пример. На промышленном предприятии 92 подстанции. При прохождении суточных максимумов нагрузка снижается путем отключения части электроприемников. В течение квартала отключение нагрузки мощностью 100 кВт проводилось на 47 подстанциях, 200 кВт — на 38, 300 кВт — на 42. По условиям производства в ряде случаев требовалось отключить нагрузку на двух и даже на трех подстанциях. При этом отключения 100 и 300 кВт проводились на 31 подстанции; 100 и 200 кВт — на 28; 200 и 300 кВт — на 26; 100, 200 и 300 кВт одновременно — на 25 подстанциях. Сколько подстанций не были затронуты отключениями?

Решение. Элементарные операции позволяют выполнить расчет:

Практически любая реальная система представляет собой совокупность взаимосвязанных объектов (предприятий, агрегатов, технологических операций). Если каждый из первичных объектов является простым, а сложность задачи управления всей системой обусловлена их количеством, то естественно делить её на ряд подзадач, соответствующих некоторой группе первичных объектов. Если их число относительно невелико, но каждый из них сложен в управлении, поскольку характеризуется большим числом параметров или быстрой сменой состояний, разбиение исходного множества основывается на выделении некоторых групп функций управляющего органа. В этом случае один из принципов разбиения принято называть объектным, а другой — функциональным. И в том, и в другом случае используется свой управляющий орган.

Нередко сложность системы состоит как в большом числе первичных объектов, так и в сложности каждого из них. Здесь, при использовании объектного принципа, целесообразно объединить в одну группу объекты, «близкие» в том или ином смысле. В зависимости от того, как определяется «близость*, различают отраслевое и территориальное разбиение. При отраслевом разбиении близкими считаются объекты, характеризующиеся одними и теми же основными входными или выходными параметрами, либо общностью технологического процесса. Территориальное разбиение использует в качестве важнейшей характеристики объекта его пространственные координаты.

Задача разбиения множества представляется в следующем виде [71]. Пусть А = {а_х>а_г,…, а_я — множество первичных объектов, а Е = {0} - система разбиений множества А:

Прямым декартовым произведением множеств А и В называется множество А х В всех упорядоченных пар (а, Ь), таких, что а е А, b е В. Декартово произведение нс обладает коммутативным (переместительным) свойством: А х В Ф В х А.

Например, если А = {а, Ь}, В = {с, d, е}, то АЧВ = {ас, ad, ае, Ьс, bd, be). Если А и В — отрезки вещественных осей Хи У, то АЧВ изобразится заштрихованным прямоугольником (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Геометрическая ихоострация декартоеа произведения множеств