Параметрический синтез ARC-цепи и ее исследование

" Параметрический синтез ARC-цепи и ее исследование"

Дана схема активного ФВЧ второго порядка на операционном усилителе (рис. 1) и значения параметров ЧХ.

Рис. 1. Схема ARC цепи (полосовой фильтр).

Значения параметров фильтра равно: К0=0,8, Q=1,4 и F0=11 кГц.

Необходимо произвести:

Произвести вывод операторных передаточной функции и входного импеданса.

Произвести параметрический синтез цепи.

Произвести расчет частотных и переходных характеристик Произвести исследование влияния элемента С3 на АЧХ, ФЧХ и ПХ ФВЧ.

Для вывода коэффициента передачи схемы и функции входного сопротивления необходимо составить систему уравнений в матричной форме на основе метода узловых потенциалов. Для этого зададим на входе схемы источник энергии в виде источника тока I и пронумеруем узлы схемы так, чтобы входной узел был первым, а выходной вторым. Схема фильтра приведена на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Вывод схемных функций ARC цепи Так как ко второму узлу схемы подключен выход идеального операционного усилителя, то для этого узла уравнение не составляем. Система уравнений в матричной форме выглядит следующим образом:

(1.1.).

Рассмотрим основное уравнение операционного усилителя для данной схемы:

(1.2.).

Несколько изменив данное уравнение получим:

(1.3.).

Так как величина К=, то очевидно, что U22=U44, на основании этого в системе уравнений (1.1.) можно избавиться от четвертого столбца, сложив столбцы 2 и 4.

(1.4.).

Система уравнений (1.4.) в матричной форме описывает характеристики ARC цепи. Передаточную функцию активного полосового фильтра определяем по методу Крамера следующим образом:

(1.5.).

Находим величины 12 и 11, разрешая матричное уравнение (1.4.) путем подстановки столбца ответов вместо соответствующего столбца:

• (1.5.)
• (1.6.)

Подставим (1.5.) и (1.6.) в (1.4.):

(1.7.).

Входное сопротивление полосового фильтра определяется следующим образом:

(1.8.).

Находим определитель системы :

(1.9.).

Подставим (1.6.) и (1.9.) в (1.8.):

(1.10.).

Таким образом, в ходе расчета получили выражения, описывающие функции коэффициента передачи по напряжению (1.7.) и входного сопротивления (1.10.).

Задание 2.

Рассматриваемый фильтр представляет собой ARC цепь второго порядка. Его передаточная функция описывается биквадратной зависимостью:

(2.1.).

Так как для фильтров удобнее использовать значения, напрямую характеризующие вид частотной характеристики, то обычно выражение (2.1.) имеет вид:

(2.2.).

Величины 0, Q и К0 выражаются через коэффициенты полинома (2.1.) следующим образом [1, 2]:

(2.3.).

(2.4.).

(2.5.).

Выразим величины (2.3.) (2.5.) через значения номиналов элементов по передаточной функции (1.7.), определенной ранее в главе 1:

(2.6.).

(2.7.).

(2.8.).

Из (2.8.) находим:

(2.9.).

Зададим равные номиналы сопротивлений R1=R2=R. Рассмотрим выражения для центральной частоты и добротности:

(2.10.).

(2.11.).

Из (2.10.) выражаем:

(2.12.).

Подставим (2.12.) в (2.11.):

(2.13.).

Примем С1=С3=С=1 нФ и из (2.13.) находим номинал сопротивления:

(2.14.).

Находим по (2.9.):

Таким образом, найдены все элементы фильтра, обеспечивающие заданные параметры. Значения элементов приведены ниже: R1=R2=4,6 кОм, С1=1 нФ, С2=250 пФ и С3=1 нФ.

Задание 3.

Коэффициент передачи фильтра высоких частот равен:

(3.1.).

Для дальнейшего анализа выражения (3.1.) следует найти нули и полюса функции коэффициента передачи и построить полюсно нулевую карту.

Нулем функции (3.1.) будет:

Полюсами функции будут:

Таким образом, функция коэффициента передачи имеет два комплексно сопряженных полюса и нуль, лежащий в начале координат.

Для расчета АЧХ и ФЧХ необходимо вычислить модуль и аргумент комплексного выражения (3.1.). Для этого следует в выражении (3.1.) заменить операторную переменную р на j:

(3.2.).

Полюсно-нулевая карта изображена на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Полюсно-нулевая карта Определим модуль выражения (3.2.), который равен АЧХ:

(3.3.).

Определим аргумент (3.2.), который равен ФЧХ:

(3.4.).

Так как при расчет аргумента комплексного числа через «арктангенс» необходимо накладывать условия, то рассмотрим особые точки. Такой точкой будет значение, когда знаменатель выражения (3.4.) обращается в ноль:

=0(3.5.).

Таким образом, полное выражение для ФЧХ представляет собой систему уравнений:

(3.6.).

Построим АЧХ и ФЧХ фильтра высоких частот по выражениям (3.3.) и (3.6.).

Рис. 3.2. АЧХ коэффициента передачи фильтра высоких частот Определим переходную характеристику фильтра. В поле изображений Лапласа она равна:

(3.7.).

Рис. 3.3. ФЧХ коэффициента передачи фильтра высоких частот Так как функция коэффициента передачи имеет комплексно-сопряженные полюсы, то переходная характеристика буде носить затухающий колебательный характер. Для выполнения обратного преобразования Лапласа несколько преобразуем выражение (3.7.):

(3.8.).

По таблицам обратного преобразования Лапласа находим, что выражению (3.8.) соответствуют экспоненциально затухающие функции синуса и косинуса:

(3.9.).

Коэффициенты и были определены ранее при расчете нулей и полюсов и равны =24 671, =64 508, тогда:

Построим переходную характеристику фильтра.

Рис. 3.4. Переходная характеристика фильтра высоких частот Задание 4.

Емкость С3 определяет два параметра частотной характеристики ФНЧ — добротность и частоту среза:

(4.1.).

(4.2.).

Коэффициент усиления от емкости С3 не зависит:

(4.3.).

Для исследования влияния С3 на частотные характеристики ФНЧ зададим следующие значения емкости С3:

С3=С¾=0,25 нФ;

С3=С3/2=0,5 нФ;

С3=1 нФ;

С3=2С3=2 нФ;

С3=4С3=4 нФ.

крамер полосовой фильтр частотный Таблица 4.1. Влияние С3 на параметры частотной характеристики ФВЧ.

Рассчитаем АЧХ и ФЧХ фильтра при указанных в табл. 4.1 параметрах частотной характеристики. Расчет проводим по следующим формулам:

(4.4.).

(4.5.).

Рис. 4.1. Влияние С3 на АЧХ ФВЧ.

Рис. 4.2. Влияние С3 на ФЧХ ФВЧ На всех представленных графиках кривая 1 соответствует минимальному значению емкости С3=0,25 нФ, кривая 2 — С3=0,5 нФ, кривая 3 — номинальной емкости С3=1 мкФ, кривая 4 — С3=2 нФ и кривая 5 соответствует максимальной емкости — С3=4 нФ.

Для расчета влияния С3 на переходную характеристику оценим, вначале, как связаны полюса передаточной функции со значениями F0, Q и К0:

(4.6.).

Расчет переходной характеристик проведем по выражению (3.9.).

Рис. 4.3. Влияние С3 на переходную характеристику ФВЧ.

• 1. Попов В. П. Основы теории цепей. М. «Высшая школа», 1985 г.
• 2. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи М. «Высшая школа», 1990 г.
• 3. Шебес М. Р. Задачник по теории линейных электрических цепей. М. «Высшая школа», 1990 г.
• 4. Лосев А. К. Теория линейных электрических цепей. М. «Высшая школа», 1987 Г.