Переходные процессы в линейных электрических цепях

Причины возникновения и основные принципы анализа переходных процессов

В предыдущих главах рассматривались стационарные (установившиеся) режимы работы электрических цепей, при которых в результате относительно длительного действия источников электрической энергии устанавливаются постоянные или синусоидальные токи. Однако в ряде случаев необходимо исследовать неустановившиеся процессы, возникающие в электрических цепях вследствие коммутации, т. е. включения или выключения источника энергии либо элементов цепи, а также в результате скачкообразного изменения параметров К, Ь и С элементов цепи.

Электромагнитные процессы, возникающие в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называются переходными. Переходные процессы могут происходить во многих электротехнических устройствах не только в начале или в конце их работы, когда включается или выключается источник питания, но и при возникновении аварийных ситуаций, когда происходит обрыв или короткое замыкание части электрической цепи.

Иногда значения токов или напряжений некоторых элементов цепи в переходном процессе могут во много раз превышать номинальные значения, на которые рассчитаны эти элементы. Для предотвращения выхода из строя этих элементов используют аппаратуру, автоматически защищающую электрическую цепь от перенапряжений и (или) чрезмерного увеличения токов. При эксплуатации электротехнических устройств и выборе аппаратуры защиты необходимо знание максимальных значений токов и напряжений, возникающих в переходном режиме, и время, за которое они достигаются.

В ряде электротехнических устройств, особенно часто в устройствах промышленной электроники, переходные процессы являются основными условиями их работы, а не свидетельством аварийного режима. Так, переходные процессы, связанные с зарядкой и (или) разрядкой конденсаторов, лежат в основе работы некоторых типов электронных генераторов.

Переходные процессы возникают в цепях, содержащих индуктивные катушки и конденсаторы, так как эти элементы обладают способностью накапливать и отдавать энергию соответственно магнитного и электрического полей. Возникновение переходных процессов объясняется тем, что индуктивные катушки и конденсаторы являются инерционными элементами, так как изменение энергии электрического или магнитного поля не может происходить мгновенно. Накопление энергии за счет источника или отдача ее в электрическую цепь происходят хотя и в очень малые, но конечные промежутки времени.

Расчет напряжений и токов на участках исследуемой электрической цепи во время переходного процесса проводят, пользуясь уравнениями, составленными в соответствии с законами Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Они характеризуют электрическое состояние цепи в любом режиме, в том числе и в переходном. Для электрических цепей с линейными элементами, имеющими постоянные параметры /?, I и С, эти уравнения представляют собой линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение дифференциальных уравнений, как известно, может осуществляться различными методами.

При непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений общий интеграл линейных дифференциальных уравнений со свободным членом (правой частью) получается в результате суммирования частного решения данного неоднородного уравнения и его общего решения при равенстве нулю правой части, т. е. однородного уравнения.

Частное решение дифференциального уравнения находят для установившегося режима, когда переходный процесс закончен. При этом токи и напряжения на участках цепи определяются параметрами источника энергии и элементов электрической цепи. Определение токов и напряжений осуществляется одним из рассмотренных ранее методов расчета цепей постоянного или переменного тока. Токи и напряжения, которые получаются в результате частного решения для установившегося режима, называют принужденными или установившимися (г_у, и_у).

Общее решение дифференциального уравнения без правой части соответствует режиму цепи в отсутствие внешнего источника энергии, г. е. свободному режиму. Токи и напряжения, которые получаются в результате общего решения однородного дифференциального уравнения, определяются лишь параметрами элементов цепи и называются свободными (г_св, и_сп).

Алгебраические суммы установившихся и свободных токов и напряжений равны переходному току и напряжению, т. е. их значениям во время переходного процесса:

При интегрировании дифференциальных уравнений, как известно, появляются постоянные, которые определяют на основе начальных условий, вытекающих из двух законов коммутации.

Первый закон коммутации определяет, что ток в ветви с индуктивной катушкой не может измениться скачком. В первый момент переходный ток сохраняет значение, которое он имел в момент, предшеетвовавший коммутации.

Математически этому требованию отвечает непрерывная функция тока индуктивной катушки. Пределы функции тока слева и справа относительно момента коммутации

Второй закон коммутации определяет, что напряжение на конденсаторе не может измениться скачком. Значение этого напряжения в момент, предшествовавший коммутации, сохраняется и сразу же после коммутации.

Зависимость напряжения на конденсаторе от времени математически является также непрерывной функцией и_с(р_к-) = и_с(Ь_к+).

Доказательство этих положений следующее. Допущение скачка тока в ветви с индуктивным элементом или напряжения на емкостном элементе привело бы к заключению о неизбежности скачкообразного изменения энергии магнитного и электрического полей:

Однако скачкообразное изменение этих функций возможно лишь при бесконечных значениях производных, т. е. при бесконечно больших мощностях, так как.

Поскольку электрических цепей бесконечно большой мощности нет, скачкообразное изменение энергии магнитного и электрического полей невозможно. Это говорит о том, что первый и второй законы коммутации соблюдаются во всех электрических цепях.

Упражнение 4.1.1. Законы коммутации А. В каких элементах цепи (рис. 4.1.1) возникает ток в первый момент после коммутации? Б. Па каких элементах этой цепи будет возникать напряжение в первый момент после коммутации? Варианты ответа:

• 1) А — на элементах 1, 4, 5, 6; Б — на элементах 3, 5, 6;
• 2) А — на элементах 1, 4, 5, 6; Б — на элементах 5, 6;
• 3) А — ток отсутствует во всех элементах; Б — на элементах 1, 4.

Рис. 4.1.1. К упражнению 4.1.1.