Методы оценки надежности систем электроэнергетики

Оценка вероятностей состояний системы. Логико-вероятностный метол Расчет надежности электрической сети на основе построения дерева отказов. Аналитический метод расчета надежности электроустановок. Таблично-логические методы расчета надежности. Оценка надежности схем электрических соединений.

ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ

Переход системы (объекта) из одного состояния в/ в другое е* (/ * к i, k = l, m) не является достоверным событием из-за случайных отказов его функциональных элементов (блоков). Поэтому всякое его состояние е, € Е есть случайное событие, вероятность которого зависит от надёжности отдельных блоков (подсистем).

Предположим, что система содержит т произвольным образом соединённых между собой блоков. Вероятность отказа у-го блока равна q_tyj = 1,/я), причём отказы всех блоков взаимно независимы и отказать может только один блок. Требуется определить вероятность нахождения системы в любом из рассматриваемых состояний Р (е/).

Число и вид состояний системы, подлежащих определению, задаются с учётом цели и других условий (режимов) работы. Поэтому формулы для расчета вероятностей состояний в различных задачах будут несколько различаться. Однако они выводятся по единой методике, заключающейся в уточнении выдвинутых гипотез о возможных состояниях системы по формуле Байеса.

Рассмотрим несколько конкретных задач, связанных с более сложными условиями применения теоремы Байеса, чем рассмотренные ранее в п. 7.5 [42].

• 1. Задача определения вероятностей различных состояний системы при проверке её работоспособности с точностью до блока {элемента). Выдвигаются гипотезы соответствующие состояниям е_а, е_и…, е"…, е_я. Гипотеза /7₀ — предположение, что система находится в работоспособном состоянии. По каждой из остальных гипотез Н, {/ = 1, т) предполагается, что система неработоспособна из-за отказа /-го блока. Вероятности гипотез Р (И.), где i = 0, т, онределяются значениями вероятностей отказов Я j [j ⁼ Ь отдельных элементов
• (устройств) системы следующим образом:

где.

Pj = - Qj — вероятность безотказной работы j-го элемента.

Рассматриваемые гипотезы не охватывают полной группы событий, так как нс учитывают других, возможных ситуаций, обусловленных одновременным от;

т

казом двух, трёх и большего числа элементов. Поэтому ?/>(//,) * 1.

/-1.

Вероятности гипотез Р (Н_й), Р (Н_х)_г…, Р (Н^,…, Р (Н_т) представляют собой априорные (доопытные) вероятности выдвинутых гипотез. Опыт — проверка выполнимости заданных условий. Они заключаются в том, что система может находиться либо в работоспособном состоянии ео, либо в неработоспособном, которое обозначается как е₀. Наблюдаемым исходом опыта будет событие е₀ие₀. Тогда апостериорные (послеопытные, уточнённые) значения вероятностей гипотез определяются в соответствии с формулой Байеса (7.1).

Очевидно, что апостериорные вероятности гипотез дают искомые вероятности соответствующих им состояний анализируемого объекта е, е Е, т. е.

Обратные условные вероятности в формуле (10.3) равны единице.

так как если система находится в одном из возможных состояний е/, то это состояние либо работоспособное — ео, либо неработоспособное е₀ .

Подставим в числитель формулы (10.3) выражение (10.1), а в знаменатель — (10.1) и (10.2). Учитывая (10.4) и (10.5), получим формулу для определения работоспособного состояния системы.

Аналогично получаем, подставляя в числитель (10.3) выражение (10.2) и учитывая (10.1), (10.4) (10.5), формулу для расчёта вероятностей неработоспособных состояний системы.

Так как в соответствии с (10.4) полученные вероятности /V/) есть вероятности соответствующих гипотез //" уточнённых по результатам опыта, в котором подтвердились заданные условия, то рассматриваемые состояния е, е Е можно.

т

считать событиями, составляющими полную группу, и? Р (е,) = 1.

/=>0.

Пример. В системе электроснабжения, состоящей из трёх нерезервированных элементов, возможен отказ любого элемента с вероятностями q = 0,1, ^ ⁼ 0>2> 03 = 0,3. Определить вероятность безотказной работы системы /Vo) и вероятности /Vi)> /Vi)> /V3) отказа её из-за отказов первого, второго и третьего элементов соответственно.

Решение. Рассмотрим гипотезы #о, #ь Щ, соответствующие работоспособному состоянию системы и сё неработоспособным состояниям, из-за отказов соответствующих элементов. Вероятности этих гипотез определяются по формулам (10.1), (10.2):

Эти гипотезы не составляют полной группы событий:

Поэтому дополнительно введем ещё четыре гипотезы.

означающие, что в системе произошёл отказ 1-го и 2-го элементов, 1-го и 3-го, 2-го и 3-го и одновременно 1-го, 2-го и 3-го элементов. Вероятности их.

Теперь все гипотезы составляют полную группу событий.

По (10.6) находим вероятность работоспособного состояния системы.

а по формуле (10.7) вероятности её неработоспособных состояний.

Вес эти состояния «о» ^еъ составляют полную группу событий:

2. Задача определения вероятностей различных состояний системы при поиске дефектов в ней с точностью до блока {элемента). В данном случае считается достоверно установленным, что система находится в неработоспособном состоянии е, и требуется определить, какой из её элементов отказал. Выдвигаемые рабочие гипотезы Я/ предполагают отказ системы из-за отказа /-го элемента. Априорные вероятности гипотез определяются по формуле (10.2), а апостериорные — по формуле Байеса:

Как и в предыдущем случае (10.4), (10.5), полагаем очевидным, что

с учётом которых из (10.8) после подстановки в неё (10.2) получаем.

т.

Из (10.9) непосредственно следует, что? P (e_;) = 1.

J-I.

Пример. В неработоспособном электроэнергетическом объекте, состоящем из 4 нерезервированных элементов, в состоянии отказа может находиться любой из них. Вероятности отказов: q — 0,2; q*i =0,15; =0,1; q4 = 0,25. Для проведения ремонта на этом объекте требуется изъять отказавший элемент, доступ к которому часто затруднён. Поэтому требуется найти вероятности Р (е,), fi = 1, 4) отказа объекта из-за отказа каждого из элементов.

Решение. Для вычисления искомых вероятностей используем формулу (10.9), из которой находим.

Проверка показывает, чтс

• 3. Задача определения вероятностей различных состояний системы при контроле правильности её функционирования. Система из п элементов при нормальной эксплуатации переходит из одного режима в другой, общее число которых т. В каждом режиме могут быть задействованы разные элементы. Определить вероятность перехода системы в каждый из режимов.
• — подмножество элементов, работающих в /-м режиме (/ = 1,/и). Априорная вероятность гипотезы Я/ о нахождении системы в /-м режиме определится по формуле, аналогичной (10.1):

ео «работоспособное состояние системы. Тогда формула Байеса для определения апостериорных вероятностей гипотез Я, принимает вид (10.8):

Очевидно, что Р (е₀1 Я,) = Р (е_й | H_k) = 1 для всех i, k = 1 , т, так как в процессе функционирования работоспособная система непременно находится в одном из режимов своей нормальной работы. Подставляя в (10.11) равенство (10.10) и учитывая, аналогично (10.4), что Р (Я, | е₀) = Pfa), получаем.

где.

Nk — подмножество элементов, участвующих в формировании к-то режима работы системы.

Полученные по (10.12) вероятности обеспечивают Y_JP (e_l) = 1.

/-I.

При контроле функционирования системы имеет смысл нс только проверять переходы её из одного режима нормальной работы в другой, но и устанавливать в случае необходимости факт потери работоспособности. Это может быть достигнуто дополнением выдвинутых гипотез Я, ещё одной гипотезой Я₀, соответствующей неработоспособному состоянию системы. Априорная вероятность этой гипотезы.

Правильность выполнения расчётов устанавливается проверкой условия.

Пример. Система электроснабжения обеспечивает работу технологического процесса при помощи пяти электродвигателей. Регламентом выделены три режима нормальной работы технологической системы производства. В первом подмножество работающих электродвигателей Nj = {1, 2, 3}, во втором N2 = {2, 3, 4}, в третьем N3 = {3, 4, 5}.

Определить вероятность Р (е^) неработоспособного состояния производства и вероятности Р (е_#) соответствующих режимов его нормальной работы (/' = 1,2,3), если вероятности отказов электродвигателей.

Решение. По формуле (10.14) находим.

По формуле (10.15) определяется вероятность каждого режима нормальой работы системы:

Суммированием полученных вероятностей убеждаемся, что условия (10.16) выполняются:

4. Задана определения вероятностей различных состояний системы при контроле её функционирования и поиске дефектов в ней с точностью до блоков (элементов). В данном случае задача контроля заключается в распознавании каждого /'-го режима нормальной работы системы и определении отказавших блоков в случае потери системой работоспособности. Соответственно этому выдвигаются гипотезы Гипотеза Я,(/ = Цт) заключается в предположении, что система находится в /-м режиме своей нормальной работы, а гипотеза Н_тЧ (у = 1, п) — в предположении, что система находится в состоянии отказа по причине J-го блока.

Априорные вероятности гипотез Я/определяются по формуле (10.10), гипотез Н_т + у — по формуле (10.2). Так как группа из т выдвинутых гипотез соответствует работоспособному состоянию системы ео, а группа из п гипотез — её неработоспособному состоянию е₍, то каждая из гипотез имеет место при наступлении события е₀ие₀. Поэтому апостериорные вероятности определяются по следующим формулам Байеса: