Способы аналитического описания сигналов

Широкое применение нашли два способа математического представления сигналов: спектральный и временной. Такое представление возможно вследствие принципа дуальности (от англ, duality — двойственность; например, двойственны сопротивление R и проводимость Y: R = 1 /У) частоты и времени, поскольку f = l/t.

При временном способе анализа сигнал отражают непрерывной функцией времени или совокупностью элементарных импульсов, следующих друг за другом через определенные интервалы времени. Временная форма представления сигнала позволяет определить его энергию, мощность и длительность. Спектральный способ представляет сигналы либо в виде взвешенной суммы гармонических составляющих, либо в виде суммы комплексных экспонент с частотами, обычно кратными друг другу (образующими арифметическую прогрессию).

Интегральное преобразование сигналов.

При ряде условий для функции u (t), описывающей сигнал во временной области (области определения) О—Г, существует интегральное преобразование.

где j/(co, t) — заданная функция (ядро интегрального преобразования). Здесь и далее комплексные характеристики обозначаются с точкой вверху или указанием среди аргументов мнимой единицы j (j = уГ-[).

Интегральное преобразование позволяет осуществить переход от временной области определения функции к области частоты.

Формулу, восстановливающую сигнал u (t) по известной комплексной функции 5(со), называют формулой обращения интегрального преобразования:

где ф (?, со) — базисная (basis) функция.

Выражения (2.2) и (2.3) устанавливают однозначное соответствие между сигналом u (t) и его спектром 5(со).

Комплексная форма представления сигналов. Часто при описании и анализе некоторых видов сигналов (в первую очередь узкополосных) бывает удобной комплексная форма их представления.

где u (t)l ср (?) — соответственно модуль и фаза комплексной величины u (t).

Комплексная функция u{t) может быть также представлена в виде.

где Re, Im — действительная и мнимая части комплексной функции.

Из формул (2.4) и (2.5) получим.

По формальному аналитическому представлению сигнал может быть действительным или комплексным, т. е. состоящим из вещественной и мнимой частей. С помощью комплексных чисел удобно записывать синфазную (совпадающую, но фазе с некоторым сигналом) и квадратурную (отличающуюся по фазе от этого сигнала на 90°) составляющие сигнала.

Векторное представление сигналов. Комплексную форму сигналов удобно отражать точками на плоскости — одна координата отражает действительную, вторая — мнимую часть. Тогда сложение сигналов станет сложением соответствующих сигналам векторов, а умножение — поворотом векторов на плоскости (с умножением их длин, равным модулям этих чисел; углы же, равные аргументам чисел, складывают). Последовательное возведение комплексного числа в степень становится вращением выражающего это число вектора вокруг начала координат. Проекция данного вектора на одну из осей координат будет представлять нарастающие, затухающие или же с постоянной амплитудой колебания — в зависимости от того, больше ли единицы модуль данного комплексного числа, меньше или равен ей.

Итак, при векторном представлении комплексный сигнал — это вектор на комплексной плоскости с действительной осью — осью абсцисс и мнимой осью — осью ординат (рис. 2.4). Вектор на плоскости вращается в положительном направлении (против часовой стрелки) с угловой скоростью со₀. Длина этого вектора равна модулю комплексного сигнала, угол между вектором и осью абсцисс — аргументу ф (?). Проекции вектора на оси коор;

Рис. 2.4. Графическое представление комплексной формы сигнала.

дипат равны соответственно действительной и мнимой частям комплексного значения сигнала.

На амплитудно-фазовой плоскости-диаграмме (на одной оси — амплитуда, а на другой — фаза) сигнал может быть представлен в виде точки, соответствующей концу вектора. Такое представление используют для описания видов модуляции в модемах.

Векторное представление сигналов базируется на функциональном анализе — разделе математики, объединяющем методы и подходы топологии, классического анализа и линейной алгебры и позволяющем создать аналитическую теорию сигналов. В геометрической форме элемент U в /2-мерном пространстве представляют в виде точки или вектора с координатами u_v и₂, и_п. При такой интерпретации множеству сигналов ставят в соответствие линейное векторное пространство L.

Сигналы в этом пространстве изображают векторами и операции с сигналами заменяют операциями с векторами. Если число членов множества п стремится к бесконечности, то говорят о бесконечномерном пространстве L. Пространство L называется нормированным, если введена норма, т. е. определенное расстояние между началом координат и какой-либо точкой пространства. Для вещественного и комплексного сигналов, определяемых на интервале t_{ — t₂ (часто удобнее интервал обозначать как 0 — Т)> норма соответственно запишется следующим образом:

где u*(t) — сигнал, комплексно-сопряженный сигналу u (t).

Норма представляет собой геометрическую трактовку линейного пространства сигналов и по своему смыслу соответствует длине вектора сигнала.

Еще одним фундаментальным понятием линейного пространства сигналов является метрика. Пространство сигналов называется метрическим, если введен способ определения метрики — расстояния d (u_y v) между двумя его элементами (здесь — сигналами), например u (t) и v (t).

Метрика — неотрицательное число, которое независимо от способа задания должно удовлетворять ряду известных в математике аксиом (для упрощения не приводятся). Метрика определяется нормой разности двух сигналов u (t) и v (t). В связи с этим используют такую аналитическую запись метрики пространства:

Пространство функций с равномерной метрикой (2.6) называют п-мерным евклидовым пространством. Если математические модели сигналов — комплексные функции, то приходим уже к комплексному линейному пространству.

Кроме нормы и метрики вводят скалярное произведение сигналов

Скалярное произведение сигналов (функций) обладает рядом свойств:

• • (Щ, и") > 0;
• • (и, v) = (v, и);
• • (а и, v) = а (и, v), где, а — вещественное число;
• • (и + v, s) = (и, s) + (v, s).

Полное линейное пространство с квадратичной (степенной) метрикой называют вещественным гильбертовым пространством Н (по фамилии немецкого математика Давида Гильберта — David Hilbert).

При анализе комплексных сигналов можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение.

такое что {и, v) = (и, ?>)*.

Для скалярного произведения сигналов справедливо фундаментальное неравенство Коши — Буняковского — Шварца

Сигнал, описываемый выражением.

есть «-мерный вектор линейного пространства (рис. 2.5).

Ортонормированная (т.е. ортогональная и нормированная к единице) система базисных функций (v-(?)} образует координатную систему в «-мерном евклидовом пространстве (частном случае гильбертова). Функции v,(?) представляют собой единичные векторы {орты), коэффициенты с_п — про;

Рис. 2.5. Векторное представление сигнала екции вектора сигнала и (!) на оси координат. Координаты вектора — скалярное произведение функций и (() и v,(!)'?

Представление сигналов динамическими моделями. Применяют два способа динамического представления сигналов (рис. 2.6). Согласно первому способу в качестве элементарных сигналов используют ступенчатые функции, возникающие через равные интервалы времени Д (рис. 2.6, а). Высота каждой ступеньки (импульса) равна приращению сигнала па интервале А. При втором способе представления элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы длительностью Д. Импульсы примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее (рис. 2.6, б).

Рис. 2.6. Способы динамического представления сигналов (стрелками показаны направления изменения во времени элементарных слагаемых):

а — ступенчатыми функциями; б — прямоугольными импульсами.