Граничные условия к уравнению Навье — Стокса

Уравнение Навье — Стокса является дифференциальным уравнением в частных производных. Как уже отмечалось в § 7, такие уравнения могут быть решены, только если заданы их граничные условия, отражающие физические условия на границах области решения задачи. Ниже рассмотрим три типичных случая граничных условий в задачах гидродинамики.

Жидкость — твердое тело. Представим себе, что вязкая жидкость течет вблизи плоской твердой стенки. Введем декартову систему координат с началом на твердой поверхности и осью z, направленной перпендикулярно этой поверхности. Если твердая стенка непроницаема для жидкости, то перпендикулярная к ней составляющая скорости v жидкости должна быть равна нулю. Что касается тангенциальной составляющей v, то, как показывает опыт, непосредственно на поверхности стенки она также обращается в ноль. Это условие называется принципом прилипания. Физической причиной эффекта прилипания является то, что практически любая поверхность реального твердого тела содержит микрошероховатости, щели, каверны. При течении жидкость сильно тормозится этими неоднородностями, застаивается в них. Из-за эффектов вязкого трения на высотах, немного превышающих размеры неоднородностей, жидкость не может обладать значительной скоростью. Поскольку вертикальные по отношению к поверхности размеры неоднородностей, как правило, гораздо меньше остальных размеров области течения и меньше тех, которые могут непосредственно восприниматься нашими органами чувств, их высотой пренебрегают, а эффекты застаивания жидкости в них интерпретируют как прилипание жидкости к гладкой поверхности.

Таким образом, граничные условия при течении жидкости вдоль твердой поверхности выглядят так:

Жидкость — жидкость. Рассмотрим две несмешивающиеся жидкости 1 и 2 с плоской границей раздела между ними. Как и в предыдущем случае, используем систему координат с началом на граничной поверхности и осью z, направленной перпендикулярно этой поверхности.

Предположим, что на границе жидкостей не образуются разрывы и нет проскальзывания между ними. То обстоятельство, что жидкости не смешиваются, а значит, не проникают друг в друга, а также то, что между ними нс образуются разрывы, означает, что z-компоненты скоростей первой и второй жидкостей на границе равны. Отсутствие проскальзывания означает равенство тангенциальных компонент скоростей. Следовательно,.

В силу третьего закона Ньютона вертикальная компонента силы, с которой первая жидкость действует на вторую, равна силе, с которой вторая действует на первую. Учитывая противоположное направление сил давления и вязкого трения по отношению к нормали единичной площадки граничной поверхности, получаем.

Аналогично, третий закон Ньютона требует равенства тангенциальных сил, действующих на единичную площадку этой поверхности. Следовательно,.

(63).

Соотношения (61)—(63) образуют систему граничных условий на поверхности раздела несмешивающихся жидкостей.

Жидкость — газ. Рассмотрим случай, когда движущаяся жидкость контактирует с газом, например, с атмосферным воздухом. Снова рассматриваем случай плоской границы, ось z направляем перпендикулярно к ней.

Будем учитывать, что газ является средой, очень разреженной по сравнению с жидкостью. Его вязкость намного меньше вязкости жидкости. Поэтому, несмотря на контакт с движущейся жидкостью, он остается практически неподвижным, и давление в нем равно равновесному давлению, которое мы обозначим р_г В силу малой вязкости газа, но сравнению с вязкостью жидкости вязкими напряжениями в нем можно пренебречь. Следовательно, третий закон Ньютона на границе жидкость — газ выглядит так:

Здесь р и о относятся к движущейся жидкости. Соотношение (64) рассматривается как граничное условие на поверхности раздела газ — жидкость; если интерес представляет движение только жидкости, движение газа может быть проигнорировано.

В следующих параграфах мы рассмотрим несколько типичных примеров течения вязких жидкостей, в которых используются полученные граничные условия.