Электрические фильтры. 
Общая теория связи

Общие сведения об электрических фильтрах

В устройствах связи широко применяют такой вид линейных стационарных цепей, как электрические фильтры, предназначенные для выделения (пропускания) или подавления (ослабления) сигналов с заданным спектром частот.

Выбор типа и параметров фильтра определяют целями, поставленными при обработке сигнала. Требования к фильтру формируют в процессе анализа исходных данных о спектральном составе полезного сигнала, мешающих сигналов и шумов. Фильтр должен обеспечить максимальное подавление помех при минимально допустимых искажениях сигнала. К основным характеристикам фильтра относят импульсную и передаточную характеристики, АЧХ, его порядок. В качестве примера на рис. 4.27 приведены временные диаграммы и спектры сигналов и помех до и после фильтровой обработки.

В данном, достаточно типичном, случае для системы связи полезный сигнал (временная диаграмма сигнала s (t) и его спектр S (f) приведены на рис. 4.27, а, б) представляет собой сравнительно низкочастотный процесс (порядка 1 кГц). В канале связи на сигнал могут оказать влияние высокочастотные пульсации (частота около 2,5 кГц) с шумом, т. е. помеха (временная диаграмма помехи r (t) и ее спектр R (f) показаны на рис. 4.27, в, г).

Рис. 4.27. Сигнал и помеха на входе канала связи:

а — сигнал; б — спектр сигнала; в — помеха; г — спектр помехи Пусть на входной сигнал s (t) аддитивно наложена помеха r{t) (временная диаграмма смеси u (t) = s (t) + r (t) ^и структура ее вещественного спектра U (J) = S (J) + R (f) показаны на рис. 4.28, а, б). Чтобы разделить низкочастотный сигнал и высокочастотные помехи, надо использовать фильтр с соответствующей полосой пропускания. АЧХ анализируемого фильтра показана штриховой линией на рис. 4.28, б. Как очевидно из эпюры выходного сигнала y{t) и его спектра Y (J) (рис. 4.28, в, г), фильтр пропускает сигнал и существенно ослабляет помехи, а также почти полностью подавляет высокочастотные пульсации сигнала с частотой 2,5 кГц. Полезный сигнал при этом несколько искажается. В частности, нетрудно заметить, что выходной сигнал y{t) имеет запаздывание относительно полезной составляющей сигнала на входе s (t) (штриховая линия на рис. 4.28, в).

Рис. 4.28. Сигнал и помеха на входе и выходе фильтра:

а — сигнал в помехах; б — спектр сигнала в помехах; в — сигнал после фильтрации; г — спектр профильтрованного сигнала Область частот, в которой фильтры обладают малым ослаблением, называют полосой пропускания. Область частот, в которой фильтры существенно ослабляют входной сигнал, определяют как полосу задерживания {подавления).

Под идеальным фильтром понимают линейный четырехполюсник, у которого АЧХ имеет прямоугольную форму (рис. 4.29, а). Однако прямоугольные АЧХ заведомо нереализуемы. В реальных фильтрах они лишь приближаются к идеальным с той или иной степенью точности в зависимости от их структуры.

По характеру расположения полосы пропускания и полосы задерживания фильтры делятся на четыре основных вида:

• фильтры нижних частот (ФНЧ), полоса пропускания которых расположена в области частот от со = 0 до граничной верхней частоты со_в (рис. 4.29, б);

Рис. 4.29. Амплитудно-частотные характеристики фильтров:

а — идеального; б — нижних частот; в — верхних частот; г — полосового; д — рсжскторного.

• • фильтры верхних частот (ФВЧ), полоса пропускания которых простирается от некоторой граничной нижней частоты со_н до бесконечности (рис. 4.29, в);
• • полосовые фильтры (ПФ), имеющие полосу пропускания в области между граничной нижней частотой со_н и граничной верхней частотой со_в (рис. 4.29, г)
• • режекторные, или заграждающие, фильтры (РФ), полоса задерживания которых расположена в области частот от граничной нижней со._ш до граничной верхней частот задерживания со_зв(рис. 4.29, д).

В теории фильтров граничные частоты называют частотами среза (со₍).

Фильтры нижних частот. Наиболее простейшим типом ФНЧ, уже рассмотренным ранее, является интегрирующая цепь (см. рис. 4.9, а). Однако АЧХ интегрирующей цени имеет довольно пологий и длительный спад в области верхних частот (см. рис. 4.9, б), что часто не обеспечивает заданного ослабления или подавления мешающих сигналов или помех.

Обратимся к частотному коэффициенту передачи по мощности (частотной характеристике), представляющему собой квадрат модуля частотного коэффициента передачи линейного четырехполюсника К_р(со) = |/С (со)|². В отличие от комплексного частотного коэффициента передачи /((со) функция К_р(со) вещественна и поэтому удобна при анализе частотных характеристик фильтров.

Частотный коэффициент передачи по мощности идеального ФНЧ для физических (положительных) частот (рис. 4.30, а) описывается выражением.

В теории фильтров идеальные прямоугольные АЧХ аппроксимируют различными функциональными зависимостями. По оси абсцисс откладывают нормированную частоту х = со/со_е, а по оси ординат — коэффициент передачи по мощности К_р(х).

Ф11Ч, построенные на основе этой функции, называются фильтрами с максимально плоской характеристикой, или фильтрами Баттерворта. Целое число п = 1, 2, 3,… в формуле (4.47) определяет порядок фильтра.

На нормированной частоте среза (х = 1) ослабление сигнала по мощности, вносимое фильтром любого порядка, равно ½ (по напряжению 1/V2). Часто ослабление рассчитывают в логарифмических единицах, тогда на частоте среза ослабление, А = 101g0,5 = -3 дБ. Чем больше порядок фильтра, тем точнее аппроксимируют идеальную форму частотной характеристики. На рис. 4.30, б показаны графики функций (4.47), построенные для нескольких значений п. Ослабление оценивают в специфических точках частотной характеристики, где частота превышает частоту среза вдвое (на октаву) и в 10 раз (на декаду). Пусть частота входного сигнала существенно превышает частоту среза исследуемого фильтра (х 1). Тогда из формулы (4.47) получим К_р(х) ~ 1/х²" = х ²". При этом ослабление [дБ].

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Значит, при увеличении частоты входного сигнала вдвое (.г = 2) ослабление [дБ/октаву], вносимое фильтром Баттерворта, составит.

Рис. 430. Частотные характеристики фильтров:

а — идеального; б — Баттерворта Для аппроксимации идеальной частотной характеристики ФНЧ часто используют известную в математике функцию — полином Баттерворта

Если же частота сигнала увеличивается в 10 раз, то ослабление [дБ/декаду] составит.

Пример 4.6.

Точнее идеальная характеристика ФНЧ для нормированных частота < 1 аппроксимируется полиномом Чебышева п-го порядка.

В этом случае частотная характеристика ФНЧ имеет следующий вид:

где с < 1 — коэффициент неравномерности частотной характеристики.

При аппроксимации полиномами Чебышева необходимо учитывать тот факт, что чем меньше коэффициент е, тем точнее аппроксимируется частотная характеристика в полосе пропускания (х 1).

Полиномы Чебышева низших порядков записываются в виде.

На рис. 4.31 показаны частотные характеристики ФНЧ Чебышева для п = 2, 3 и 4. Из графиков ясно, что в полосе пропускания характеристики ФНЧ имеют пульсирующий характер с амплитудой АК_Р= е²/(1 + е²), и тем она ниже, чем меньше коэффициент ?. Такую аппроксимацию частотных характеристик фильтров называют равноволновой.

Рис. 4.31. Частотные характеристики фильтров Чебышева для и = 2, 3 и 4.

Вне полосы пропускания (при нормированных частотах среза х > 1, или со > со_с) частотные характеристики фильтра Чебышева монотонно убывают по закону Пример 4.7.

Полином Чебышева «-го порядка при х > 1 описывается гиперболическим косинусом:

Па нормированной частоте среза ФНЧ Чебышева 3-го порядка ослабляет мощность в два раза. Определим величину ослабления па частоте, равной трем нормированным частотам среза. Сравним эффективность ослабления сигналов ФНЧ Чебышева и Баттерворта, имеющими одинаковый порядок.

Решение

Согласно формуле (4.48) функция 7Д 1) = 1 для любого порядка. Поэтому, приравняв в выражении (4.49) К_р( 1) = 0,5, находим е = 1. Подставляя в полином Чебышева 3-го порядка заданную нормированную частоту х = 3, получим.

Ослабление, вносимое фильтром Чебышева с коэффициентом неравномерности е = 1 на частоте со = Зсо_г, равно.

Ослабление, вносимое ФНЧ Баттсрворта при таких же параметрах, составит.

Сравнение результатов показывает, что при одной и той же степени сложности фильтров одного порядка ослабление сигналов фильтром Баттсрворта на 11,5 дБ меньше, чем фильтром Чебышева.

Фильтры верхних частот. Одним из рассмотренных ранее простейших ФВЧ является дифференцирующая АС-цеп в, форма АЧХ (см. рис. 4.7) которой далека от идеальной (т.е. не прямоугольна). Аппроксимацию идеальной частотной характеристики ФВЧ получают на основе полиномов Баттерворта и Чебышева. Обратимся к функции (4.47) и введем новую нормированную частоту.

Тогда Функцию ХДу) можно рассматривать как частотную характеристику ФВЧ Баттсрворта, обладающую в нормированной полосе частот 1 < v < о° такой же неравномерностью ослабления, что и функция К_р(х) ФНЧ в полосе частот 0 < х < 1. Аналогично можно получить частотную характеристику ФВЧ Чебышева, заменивх на v в соотношении (4.49) и используя полином гиперболического вида (4.50):

Полученные с помощью соотношений (4.51) и (4.52) графики частотных характеристик фильтров высоких частот Баттерворта и Чебышева 4-го порядка представлены на рис. 4.32.

Сопоставление полученных графиков показывает, что частотная характеристика ФВЧ Чебышева обладает более крутым скатом переднего фронта, чем частотная характеристика ФВЧ Баттерворта. Однако вершина частотной характеристики ФВЧ Чебышева имеет заметно пульсирующий характер, что относится к его существенным недостаткам.

Рис. 4.32. Частотные характеристики ФВЧ 4-то порядка.