Теория прочности максимальных касательных напряжений

Для рассматриваемой теории условие прочности зависит от того, какую конструкцию — диск или цилиндр — рассчитывают. Кроме того, в зависимости от соотношения главных напряжений тоже возможно несколько вариантов. Ограничимся случаем, когда при действии в окружном направлении сжимающих напряжений главные напряжения определяются следующим образом: а, = а. = v (a_r + ст₀), а₂ = а, и ст₃ = ст₀.

С учетом этого условие равнонапряженности т_тах = const после преобразований имеет вид.

Выразив из этого равенства 0_О и подставив его в уравнение равновесия (2.13), получим.

Решением этого дифференциального уравнения будет функция.

Константы А и а_и определим, используя граничные условия (3.39):

Подставляя функцию напряжений (3.41) в разрешающее уравнение (2.18), с учетом выражений (2.19) получаем однородное линейное дифференциальное уравнение для определения распределения модуля упругости Е (г):

После интегрирования уравнения (3.43), с учетом условия г = а; Е = Е₀ получаем зависимость Е (г):

На рис. 3.24 представлены графики зависимостей Е (г), вычисленные при значениях v, = 0,1; v₂ = = 0,25; v. j = 0,4; b/a = 2; p_a = 6 МПа; p_h= 12 МПа. Величина коэффициента k для плоского деформированного состояния (цилиндр) равна k = (1 — 2у₍)/(1 — V,.). При этом для значений коэффициента Пуассона v, = 0,1 и v._; = 0,25 для напряжений выполняется соотношение ст_г > а,. > а₀, а для значения v₃ = 0,4 напряжения соотносятся как ст, > > ст_; > ст₀ и соответствующее решение получено другим способом [3].

Рис. 3.24. Распределение модуля упругости в равнонапряженном цилиндре.

• (обозначения такие же, как на рис. 3.22)
• 11а рис. 3.25 показано распределение напряжений в неоднородном (равнонапряженном) цилиндре, а также в однородном при тех же размерах и нагрузках. Анализируя рис. 3.25, можно сделать вывод, что величина коэффициента Пуассона оказывает значительное влияние на характер распределения напряжений <�з_г.

Рис. 3.25. Распределение напряжений в равнонапряженном цилиндре, но третьей теории прочности (обозначения такие же, как на рис. 3.23)