Основные принципы сопротивления материалов

Расчетные методы, применяемые в сопротивлении материалов, используют дополнительные гипотезы и допущения, которые вводятся с целью упростить задачу и довести расчет до числа. Ввиду своей важности допущения, излагаемые далее, называются принципами.

Принцип неизменности начальных размеров. В большинстве практических задач возникающие при деформировании взаимные перемещение точек тела намного меньше его характерных размеров. Данное обстоятельство позволяет использовать для тела принцип неизменности начальных размеров.

Согласно данному принципу при расчетах делается допущение о том, что размеры и форма конструкции, находящейся в деформированном состоянии, незначительно отличаются от размеров и формы исходного состояния кон струкции. Поэтому при составлении уравнений равновесия можно использовать размеры и форму конструкции в недеформированном начальном состоянии.

Отметим, что принцип неизменности начальных размеров допустим только в определенных пределах. Существует целый класс конструкций, при деформировании которых величины перемещений оказываются соизмеримыми с характерными размерами конструкции. Задачи расчета таких конструкций называются геометрически нелинейными задачами. Рассмотрим в качестве примера стержень с жестко заделанным левым торцом, нагруженный сосредоточенной силой F, приложенной на правом конце (рис. 1.7).

В деформированном состоянии изгибающий момент в заделке равен М = F (/ - и). В данном выражении содержатся две неизвестные величины — М и и. Поэтому определить значение момента, используя уравнение.

Рис. 1.7. Принцип неизменности начальных размеров равновесия, не удается. В такой постановке задача оказывается геометрически нелинейной, и для ее решения необходимо применить достаточно сложную процедуру. Однако если предположить, что перемещение и пренебрежимо мало по сравнению с длиной стержня /, изгибающий момент удается определить весьма просто. Составляя уравнение моментов относительно точки О, находим момент М = FI.

Рассмотрим еще один пример. В системе, состоящей из двух стержней, действует сила F (рис. 1.8). Требуется определить действующие в стержнях нормальные силы.

Рис. 1.8. Мгновенный механизм.

Под действием внешней силы система деформируется, и начальный угол, а изменится на некоторую величину у. Рассмотрим равновесие узла Л. Воспользуемся методом сечений и спроецируем усилия N, возникающие в стержнях, на вертикальную ось ЛВ. Учтем, что в силу симметрии действующие в стержнях нормальные силы равны по абсолютной величине:

Отсюда получаем значение нормальной силы:

Полученное решение содержит угол у, величина которого остается неизвестной. Если формально следовать принципу неизменности начальных размеров, то, пренебрегая изменением угла а, можно определить нормальную силу следующим образом:

Возникает вопрос: какова погрешность полученного решения? Можно ли использовать такое решение, если в качестве тяг вместо стержней использовать резиновые жгуты? Становится ясно, что для каждой конкретной задачи решение — можно или нельзя использовать принцип неизменности — должен принять расчетчик.

Полезно разобраться с частным случаем этой задачи при a = 0. Выясняется, что принцип неизменности начальных размеров также неприменим, но уже, но другой причине. А именно, в случае a = 0 конструкция является мгновенным механизмом, т. е. кинематически изменяемой системой. Для кинематически изменяемых систем принцип сохранения начальных размеров непригоден. Для их изучения придется использовать более сложные методы анализа.

Принцип независимости действия сил. Следующим основополагающим допущением, используемым при расчетах, является принцип независимости действия сил.

В соответствии с принципом независимости действия сил конечное состояние системы не зависит от порядка приложения сил, а определяется только их конечной величиной.

Для объяснения этого принципа рассмотрим случай нагружения конструкции несколькими силами, причем порядок приложения сил может быть различным. Пусть нас интересует удлинение бруса при совместном действии сил F_{ и F₂. Рассмотрим действие сил (рис. 1.9, а, б) но отдельности и определим вызванные ими перемещения и_х и и₂.

Рис. 1.9. Принцип суперпозиции.

В соответствии с принципом независимости действия сил общее удлинение стержня можно определить посредством суммирования (суперпозиции) перемещений:

По этой причине излагаемый принцип называют также принципом суперпозиции.

Образно говоря, нас не интересует история нагружения системы, поскольку предполагается, что для линейных систем это не имеет значения. Важно отметить, что, так же как и принцип неизменности начальных размеров, принцип суперпозиции не является универсальным и может быть применен только для линейных задач, т. е. для задач, для которых справедлива линейная зависимость между нагрузкой и вызванным ею перемещением.