Плоское движение твердого тела

Под плоским движением твердого тела понимается такое движение, при котором траектория центра масс лежит в плоскости и ось вращения, проходящая через центр масс, все время ортогональна этой плоскости (переносится параллельно). При таком движении траектории всех точек тела лежат в параллельных плоскостях. Ясно, что в общем случае это движение с тремя степенями свободы (две степени свободы центра масс и одна степень приходится на вращение).

Движение тела определяется уравнениями.

где момент инерции и момент сил вычисляются относительно оси, проходящей через центр масс.

Задача 3.35. С наклонной плоскости скатывается цилиндр радиусом R и массой т. Коэффициент трения к. Найти зависимость скорости от времени.

Решение.

1) Цилиндр скатывается без проскальзывания. В этом случае скорость V и угловая скорость со связаны: V = со/?, и мы имеем движение с одной степенью свободы. Пусть ось х — вдоль наклонной плоскости. На цилиндр действуют сила тяжести mg и сила трения F = -Fi. Уравнения (3.128) дают.

(Момент относительно оси имеет лишь сила трения.) Умножая первое из этих уравнений скалярно на 7 и выражая со через V, из этих двух уравнений получаем.

где, а — угол наклонной плоскости. Таким образом,.

Для силы трения получаем.

Максимальное значение силы трения при коэффициенте трения к равно, как известно, F_mix = kN = kmg cosa. Качение цилиндра без проскальзывания возможно лишь при F< F_ms{x. (Напомним, что максимальное значение силы трения достигается лишь при скольжении.).

2) Если /₀/(/о + mR²)> к ctga, цилиндр катится с проскальзыванием, переменые V, ш независимы, и мы имеем дело с движением с двумя степенями свободы.

Уравнения (3.128) дают.

Мы получили два независимых уравнения, из которых найдем ускорение центра масс и угловое ускорение цилиндра.

Важное замечание. Решение задачи получено в предположении, что распределение массы в цилиндре обладает осевой симметрией, поэтому центр масс лежит на оси цилиндра. Если это не так, сила тяжести даст момент, зависящий от угла поворота цилиндра, и решение существенно усложнится.

Дополнение. Первый вариант (одна степень свободы) требует одного уравнения, которое может дать закон сохранения энергии. Имеем:

(учтено, что V = со/?). Будем считать, что в начальном положении потенциальная энергия равна нулю. Получим.

откуда.

Если скатывается однородный цилиндр, то.

Теперь мы можем решить проблему, которую качественно обсужда ли ранее (задача 3.11).

Задача 3.36. Тонкая лента массой М и длиной / свернута в плотный рулон. Конец ленты закреплен на наклонной плоскости, и рулон, разматываясь, скатывается вниз. Найти скорость рулона как функцию пройденного пути.

Решение. Проблема в том, что радиус и масса скатывающегося цилиндра уменьшаются со временем. Изменение массы легко найти: если отмотался кусок ленты длиной х, масса рулона будет равна.

т (х) = М — — х = М 1 — —. Воспользуемся законом сохранения энер- ^{1 1}J

гии. Пусть в начальном положении потенциальная энергия ленты равна нулю. При смещении х центра рулона вдоль наклонной плоскости потенциальная энергия ленты W_n(x)=—— xg——-m (x)gxsina.

(первое слагаемое — энергия куска, лежащего на плоскости, второе — энергия рулона). (При выводе этой формулы допущена неточность: не учтено понижение центра масс рулона за счет уменьшения радиуса, однако, если длина ленты много больше радиуса рулона, ошибка невелика.) Кинетическая энергия рулона равна (см.

предыдущую задачу) Т Имеем:

Отсюда для скорости центра масс рулона получаем.

Видим, что при X-W К->оо, как и следовало ожидать.

Функция /(*)= J~y~T^{x с} точностью до константы определяет скорость V. До значений х = 0,3 рулон скатывается как сплошной цилиндр, когда V = constVx, и далее начинает ускоряться.

Задача 3.37. Горизонтально ориентированная планка падает и ударяется о край стола. Длина планки /, масса т, скорость в момент удара V Определить скорость центра масс и угловую скорость вращения планки после удара. Удар упругий.

Решение. Ось х горизонтальна, ось у — вертикально вниз. Центр масс стержня движется вдоль оси у. Край стола имеет координату х = —а. Скорость центра масс до удара VJ, после удара Vj. При ударе на стержень действует сила F = - Fj. Имеем:

откуда.

С другой стороны, имеем уравнение.

откуда.

Здесь jVd/ — импульс силы, действующей на планку при ударе. Таким образом, имеем два уравнения:

Из этих уравнений следует.

Упругость удара означает, что сохраняется механическая энергия:

Из двух последних уравнений находим.

и, таким образом,.

Комментарии. В выражении для импульса силы мы пренебрегли силой тяжести. Это законно, если длительность удара достаточно мала (импульс силы со стороны стола конечен при любой длительности удара, но импульс силы тяжести стремится к нулю при стремящейся к нулю длительности). Должно быть ясно, что фундаментальные законы, которые мы использовали, не позволяют оценить длительность удара, так как она зависит от свойств материала планки и стола.

Момент инерции планки зависит от распределения массы и может лежать в пределах от нуля (вся масса — в центре, планка невесомая) до ml¹/4 (две равные точечные массы на концах невесомой планки). Если момент инерции равен нулю, скорость центра масс не меняется при ударе, а угловая скорость со = 2 V_Q /а. Первый результат очевиден, а второй означает, что скорость v, точки планки, столкнувшейся с краем стола, при отскоке равна v, = V₀ — сод = - V₀. Результат, конечно, красивый, но не очень понятный. Скорость правого конца планки после столкновения в общем случае будет равна.

Момент инерции однородной планки /₀ = - и легко убедиться, что скорость правого конца планки после удара будет равна V_Q (не изменится), если а — //6, т. е. если удар приходится в точку на расстоянии //3 от левого конца. Отсюда практический вывод: если вы ударяете по чему-либо однородной палкой и не хотите отбить себе руку, постарайтесь сделать так, чтобы удар пришелся в точку на расстоянии 2/3 длины от конца, который у вас в руке.