Вращение твердого тела вокруг фиксированной оси

Простейшим движением твердого тела является вращение вокруг фиксированной оси: тело насажено на ось, положение которой в пространстве фиксируется подшипниками. Положение тела определяется одним параметром — углом поворота ср. Скорость изменения этого угла со временем ю = d (p/d/ называется угловой скоростью вращения тела. Все точки тела движутся по окружностям со скоростью v = tor, где г — расстояние от точки до оси вращения.

Разобьем тело на малые элементы, Ат. — масса /-го элемента, г. — расстояние от него до оси. Скорость этого элемента v, = сor. Имеем (см. формулу (2.43)):

Здесь F_xi — тангенциальная внешняя сила, действующая на элемент, AF. — тангенциальная внутренняя сила. Умножим уравнение (3.102) на г_п выразим скорость элемента через угловую скорость и просуммируем полученное уравнение по всем элементам. Получим.

Сумма в левой части этого равенства.

называется моментом инерции тела относительно заданной оси, первая сумма в правой части.

называется моментом внешних сил относительно заданной оси.

Обратите внимание. Вклад в этот момент дают только тангенциальные составляющие внешних сил, т. е. проекции сил на касательную к окружности в точке приложения силы. Это означает, что силы, направленные вдоль перпендикуляра к оси или параллельно оси, не дают вклада в момент.

Вторая сумма в правой части (3.103) равна нулю (внутренние силы не влияют на вращение тела вокруг оси). Таким образом, получаем уравнение движения твердого тела вокруг заданной оси:

Величина ^е = ~ называется угловым ускорением.

Обратите внимание. Уравнение (3.106) скалярное. Однако следует учитывать знаки величин, входящих в уравнение. Это делается следующим образом: задаемся (произвольно) положительным направлением угла поворота; моменты сил, вращающих тело в положительном направлении, пишем со знаком плюс, в противоположном — со знаком минус.

Рис. 3.5.

Задача 3.24. Однородный диск радиусом R может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. На диск намотана нить, к концу которой приложена сила F. Нить сматывается с диска под действием этой силы (рис. 3.5). Определить длину нити, смотавшейся с диска к моменту времени /.

Решение. Если диск повернется на угол d.

Rdtp. Отсюда.

Задача сводится к нахождению угла, на который повернется диск за время /. Обратимся к уравнению (3.106). На диск действует сила натяжения нити в точке схода нити с диска. Если масса нити равна нулю, эта сила равна силе F. Эта сила тангенциальна, и ее момент относительно оси вращения равен Л/= FR. Уравнение принимает вид.

Обратите внимание. Уравнение (3.106) по математической структуре тождественно второму закону для одномерного движения частицы (математик сказал бы, что уравнения одинаковы с точностью до обозначений), поэтому методы решения этого уравнения (с точностью до обозначений) те же, что в п. 2.2.8.

Пишем:

поскольку начальная угловая скорость равна нулю. Далее,.

Мы нашли угол поворота диска как функцию времени. Это был пример равноускоренного вращательного движения.

Ось вращения диска совпадает с одной из главных осей, так что.

/ = /, = mR72.

Задача 3.25. Диск из предыдущей задачи вращается по инерции, при t = 0 его угловая скорость равна со (0). На диск действует момент сил трения (о воздух), пропорциональный скорости: М= око. Какова будет скорость диска к моменту времени /?

Решение. Пишем:

Таким образом,.

(Полезно сравнить это с решением задачи 2.30).

Задача 3.26. Сколько оборотов сделает диск из предыдущей задачи к моменту времени П

Решение. Проблема, очевидно, в том, что время одного оборота меняется. Число оборотов n (t) = (ср (г) — ф (0))/2я, и дело сводится к нахождению угла поворота за время t. Пишем:

что и решает проблему. Проверка: при малых /, разлагая экспоненту, получим <�р (/) — <�р (0) = ш (0)г, что разумно. Полный угол поворота получим, полагая / -«: Дф = со (0)—.

a.

Комментарии. Полученное в задаче 3.25 решение для угловой скорости не совсем соответствует действительности: согласно этому решению угловая скорость стремится к нулю асимптотически, но, очевидно, что на самом деле диск остановится по истечении конечного промежутка времени. Это означает, что принятый закон для момента сил трения нарушается при достаточно малой угловой скорости. Тем не менее результат для полного угла поворота разумен (почему?).

Вернемся к уравнению (3.106). Умножим это уравнение на со = dtp/dt. Получим.

или.

Далее имеем: Md.

F.r,dq> = ^ F.ds., но это есть сумма работ всех внешних сил при повороте тела на угол dtp. Из закона сохранения энергии (см. формулу (3.30)) следует, что выражение в скобках в левой части (3.107) есть кинетическая энергия вращающегося твердого тела (поскольку расстояния между частицами твердого тела не изменяются, внутренняя потенциальная энергия твердого тела постоянна и внутренние силы работы не совершают). Из формулы (3.107) получаем.

Изменение кинетической энергии вращающегося тела равно работе внешних сил. Это частный случай закона сохранения энергии. При этом кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси, равна.

работа внешних сил.

Задача 3.27. К диску из задачи 3.24, вращающемуся с угловой скоростью со, прижимают с силой F тормозную колодку. Сколько оборотов сделает диск до остановки? Коэффициент трения между диском и колодкой к.

Решение. По аналогии с решением задачи 3.25 можно было бы найти всю кинематику движения диска, но ответ на поставленный вопрос можно дать немедленно на основе формулы (3.108). На диск действует сила трения /^(тангенциальная сила!) с моментом М= — kFR. Других моментов нет. Имеем:

Задача 3.28. Вращающийся маховик является примером механического накопителя энергии. Оценить, до какой угловой скорости нужно раскрутить диск радиусом R = 0,3 м и массой 100 кг, чтобы за счет этой энергии автомобиль мог проехать 20 км.

Решение. Исходим из того, что автомобиль с мощностью двигателя 80 л. с., или 60 кВт, проезжает это расстояние за 20 мин. Двигатель при этом совершает работу А = Nt. Если работа совершается за счет энергии маховика, то.

Подставляя числа, получаем.

или 900 об/с. (Автомобили с таким источником энергии практически испытывались.).

Снова вернемся к уравнению (3.106). Как мы уже убедились, это уравнение позволяет определить всю кинематику движения тела вокруг фиксированной оси. Возникает вопрос: позволяет ли это уравнение ответить на все вопросы, связанные с таким движением, и в каком отношении находится это уравнение с уравнениями.

(3.81), (3.84)?

Ответ на первый вопрос отрицательный. В уравнении учитываются лишь моменты сил, вращающих тело вокруг оси (лежащих в плоскости, ортогональной оси так, что их линии действия не проходят через ось). Уравнение не позволяет определить силы, действующие на ось.

Что касается ответа на второй вопрос, еще раз подчеркнем, что движение твердого тела определяется законами.

Здесь V — скорость центра масс; ?" — собственный момент импульса (относительно центра масс); определяемый формулой (3.86), М₀ — момент сил относительно центра масс. Кинетическая энергия тела определяется формулой (3.99). Это фундаментальные (справедливые всегда) законы. Применим эти формулы к рассматриваемому случаю.

Выберем начало координат в некоторой точке на оси вращения.

Пусть R — радиус-вектор центра масс тела и л — единичный вектор вдоль оси вращения, совпадающий по направлению с вектором угловой скорости. Имеем: со = ло>, |к| = |шх л| = асо, где а — расстояние от оси вращения до центра масс.

Кинетическая энергия тела.

(Последнее равенство получено на основе формулы (3.109).) Если а — 0 (ось проходит через центр масс),.

где /₀ — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Величина я • ?₀ есть проекция собственного момента импульса тела на ось вращения. Из формулы (3.113) получаем.

Возвращаясь к формуле (3.112), с учетом (3.114) будем иметь.

Отсюда находим связь между моментами инерции относительно заданной оси и параллельной ей оси, проходящей через центр масс:

(так называемая теорема Штейнера).

Займемся моментом импульса. Выберем начало координат на оси вращения в точке пересечения оси с плоскостью, в которой вращается центр масс (это не обязательно, но облегчает анализ). Имеем:

Первое слагаемое в правой части (орбитальный момент) дает вектор, направленный вдоль оси вращения: пта²а>. Собственный момент импульса.

или, учитывая, что со = сой,.

Базисные векторы вращаются вместе с телом, так что, наприcl/ _ г мер, — = со х /, поэтому.

(было учтено, что й — постоянный вектор и dn/dt = 0). Этот результат означает, что компоненты вектора й постоянны, а это, в свою очередь, означает (согласно формуле (3.117)), что вектор Z₀ вращается вместе с телом и изменяется со временем, даже если угловая скорость вращения тела постоянна (вектор Z₀ описывает коническую поверхность, ось которой задается вектором й). Из формулы (3.117) получаем.

(Напомним, что для любого вектора, «вмороженного» в тело, ^ = со ха.)

а/

Первое из уравнений (3.111) примет вид.

(начало координат в центре окружности |л| = а, по которой движется центр масс), второе —

Эти два уравнения определяют силы и моменты сил, действующие на тело, вращающееся вокруг фиксированной оси. Если тело вращается с постоянной угловой скоростью и никакие силы, кроме сил со стороны оси, на него не действуют, формулы (3.119) и (3.120) определяют силу и момент сил, действующие на тело со стороны оси, а взятые с обратным знаком — со стороны тела на ось. Первое из уравнений дает «центробежную силу», направленную перпендикулярно оси. Если ось проходит через центр масс, эта сила равна нулю. Второе принимает вид.

Видим, что вектор момента сил направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат ось вращения и момент импульса, и вращается вместе с телом. Этот момент стремится повернуть ось в плоскости, ортогональной моменту силы, и должен компенсироваться силами в подшипниках, удерживающих ось. Этот момент обратится в нуль, если ось вращения и вектор момента импульса параллельны, а это возможно лишь в случае, когда ось вращения параллельна одной из главных осей тензора инерции. В технике проблема уравновешивания быстро вращающихся маховиков очень важна.

Обращаясь к формуле (3.116), напишем.

Умножая это равенство скалярно на вектор Я и учитывая формулы (3.114), (3.115), получаем.

Таким образом, величина, фигурирующая в левой части равенства (3.106), есть проекция полного момента импульса на ось вращения тела. Тогда правая часть этого равенства есть проекция полного момента сил на ось вращения: М = Я • М (в этом можно было убедиться и непосредственно). Таким образом, выведенное в начале этого пункта уравнение (3.106) есть просто следствие фундаментального уравнения.

Выводы.

Кинематика вращения твердого тела вокруг фиксированной оси определяется формулой (3.106). Момент инерции относительно оси определяется по формуле (3.105) и сложным образом связан с тензором инерции. Момент сил относительно оси (формула (3.105)) есть проекция момента сил на ось вращения. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг фиксированной оси, определяется формулой (3.109), которая является следствием общей формулы (3.9). Силы, действующие на ось, могут быть найдены из формул (3.111).

Обратите внимание. Следует различать понятия «моменты импульса и сил относительно оси» и просто «моменты… «. Первые — скалярные величины, вторые — векторные. Для определения первых нужно задать ось, для вторых — точку.

Задача 3.29. Твердое тело может вращаться вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс. Момент инерции тела относительно оси /, расстояние от оси до центра масс /, масса тела т. Тело отклонили от положения равновесия на угол <�р₀ и отпустили. Как будет двигаться тело? (Такое устройство называется физическим маятником.).

Решение. Ось х — горизонтальна, ось у — вертикально вниз, центр масс движется в плоскости хОу, ось вращения проходит через начало координат, R — радиус-вектор центра масс, <�р — угол между R и осью у. На тело действуют силы: со стороны оси F, и сила тяжести. При отклонении тела на угол <�р тангенциальная составляющая силы тяжести равнаwgsin.

М = -wg/sincp (здесь / — расстояние от оси до центра масс). Уравнение (3.106) принимает вид.

Это уравнение, с точностью до обозначений, тождественно уравнению (2.149) и решается точно так же (проделайте это). Для малых углов отклонения получим.

Это гармоническое колебание.

Задача 3.30. Маятник представляет собой диск радиусом /?, массой т на невесомом стержне длиной /. Плоскость диска — в плоскости качания маятника. Как будет двигаться такой маятник при малых углах отклонения?

Решение. Формула (3.123) дает ответ, но надо определить момент инерции этой системы относительно оси вращения. Ось вращения параллельна одной из главных осей диска с моментом инерции относительно этой оси /, = Эта величина будет равняться моменту инерции системы /₀ относительно оси, проходящей через центр масс. Момент инерции маятника найдем по теореме Штейнера:

/ = /_п + та² — тЯ ²/2 + m (l + Я / 2) Эту величину нужно подставить в формулу (3.123). Вместо / в эту формулу нужно подставить / + Я/2.

Задача 3.31. Изменится ли результат предыдущей задачи, если диск повернуть так, что его плоскость будет перпендикулярна плоскости качаний маятника?

Ответ. Изменится. В этом случае ось вращения системы параллельна другой главной оси диска с меньшим (в два раза) моментом инерции.

Задача 3.32. Как изменится решение задачи 3.30, если учесть массу стержня /я,?

Решение. Момент инерции относительно оси — величина аддитивная: момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. Поэтому к найденному в задаче 3.30 моменту инерции диска нужно добавить момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню. Эта ось параллельна одной из главных осей стержня с моментом /₂ = /₃ = ml²/12. По теореме Штейнера найдем, что момент относительно конца стержня будет равен ml²/3.

Задача 3.33. В условиях задачи 3.29 определить силу, действующую на ось маятника.

Решение. На маятник действуют две внешние силы: F_x со стороны оси и сила тяжести mg. Имеем (обозначения см. в задаче 3.29):

Уравнение (3.119) принимает вид.

В решении задачи 3.29 показано, что — = ¹—sin (p.

d t I

Дело сводится к нахождению угловой скорости. Обратимся к закону сохранения энергии. Очевидно, что в отсутствие сил трения, которые мы не учитываем, механическая энергия системы сохраняется: W_k + W_n = const. Потенциальная энергия W_n — это энергия маятника в поле тяжести. Имеем: R = /7 sincp + jl cos.

Закон сохранения энергии дает уравнение.

(в правой части стоит начальная энергия системы). Отсюда.

Мы нашли угловую скорость как функцию положения маятника. Возвращаясь к формуле (3.124) для силы, получим.

Это и есть сила, действующая на ось маятника. Видим, что горизонтальная составляющая силы отлична от нуля, но равна нулю в положении равновесия. Вертикальная составляющая максимальна в положении равновесия. Очевидно, что математический маятник (материальная точка на конце невесомого стержня) есть частный случай рассмотренной системы. Полагая /= ml², получаем результат для математического маятника.

Задача 3.34. К вертикальной стене прислонена доска длиной / и массой т. В момент времени t = 0 доска начинает падать. Найти силу, действующую на опорный конец доски.

масс доски движется в плоскости хОу, R = / -jsinep + 7-^cosep —.

радиус-вектор центра масс (<�р — угол между доской и стеной). Доска вращается вокруг нижнего конца, вектор угловой скорости.

• — г dtp г
• (о = -к— = -ксо. На доску действуют внешние силы: F на нижний at

конец и сила тяжести mg в центре масс. Уравнение (3.119) принимает вид.

Угловую скорость, как и в предыдущей задаче, найдем из закона сохранения энергии:

(Было учтено, что момент инерции доски, как и тонкого стержня,.

т ^т1^г

равен I = -^-.).

Для определения углового ускорения необходимо обратиться к уравнению (3.106). Центр масс доски, к которому приложена сила тяжести, движется по окружности, тангенциальная составляющая силы тяжести равна /ngsin.

М = -^-sincp, других моментов нет. Таким образом, Уравнение (3.126) принимает вид.

Имеем: — к х R = -к хjsin.

~(i coscp- j sirup) =.

где т — единичный касательный вектор к траектории центра масс. Подставляя это в формулу (3.127) и разрешая полученное уравнение относительно силы, получаем

Это сила, действующая на нижний конец доски. Горизонтальная составляющая силы при <�р = 0 равна нулю, далее возрастает, но.

потом начинает убывать, и при <�р = arccos-j обращается в нуль. Это значит, что далее доска теряет контакт со стеной, и при больших углах решение неверно. (Если бы нижний конец доски был закреплен на шарнире, решение было бы верно при любых углах.) Более того, численный анализ показывает, что вертикальная составляющая силы при угле <�р * 70^е обращается в нуль. Это означает, в частности, что спиленное дерево в последней фазе падения отрывается от пня, после чего его центр масс движется по параболе.