Криволинейные интегралы. 
Криволинейные интегралы

Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Утверждения в этой статье приведены для пространства, но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности.

Определения Пусть — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.

— (отрезок параметризации) — рассматриваем часть кривой.

Пусть — разбиение отрезка параметризации, причем .

Зададим разбиение кривой .

За обозначим часть кривой от точки до точки, .

Введем мелкость разбиения отрезка параметризации:. криволинейный интеграл кривая теорема.

Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации: .

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой .

Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой: ,, , .

Рассмотрим 4 интегральные суммы.

1. Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:

.

Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:

.

.

.

Если, то говорят, что функция интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой, а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции по кривой и обозначают. Здесь — дифференциал кривой.

Если, ,, то говорят, что функции, и интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой, а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций, и по кривой и обозначают.

Сумму криволинейных интегралов второго рода функций, и также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции и обозначают:

Если кривая замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка принято писать .

Криволинейный интеграл первого рода Свойства.

1. Линейность:

2. Аддитивность: если в одной точке, то.

3. Монотонность: если на, то.

4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль функции :

Очевидно, что: .

• 5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла
• 6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление Пусть — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда.

.

Здесь точкой обозначена производная по: .

Криволинейный интеграл второго рода Свойства:

1. Линейность:

• 2. Аддитивность:
• 3.

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.

Вычисление Пусть — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда.

.

.

.

Если обозначить за единичный вектор касательной к кривой, то нетрудно показать, что.

Взаимосвязь криволинейных интегралов Пусть — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении), — единичный вектор, касательный к кривой. Пусть также координаты вектор-функции определены и интегрируемы вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла второго рода.

Тогда.

Механическе приложения.

• · Работа A по перемещению материальной точки вдоль кривой l под воздействием силы вычисляется по формуле
• o

• · Масса m кривой l, линейная плотность которой вдоль кривой l равна м (x, y, z), выражается интегралом
• o

• · Координаты (x_c, y_c, z_c) центра масс (центра тяжести) кривой l с линейной плотностью м (x, y, z) находятся по формулам:
• o ,

• o ,
• o ,

• · где m — масса кривой l
• · Моменты инерции кривой l относительно координатных осей:
• o ,

• o ,
• o

· Сила притяжения точечной массы материальной кривой l есть.

где м (z, y, z) — линейная плотность кривой l, m₀ — масса точки с координатами (x₀, y₀, z₀); г — постоянная тяготения,.

Методы вычисления криволинейного интеграла.

Пусть кривая L задана уравнениями в. параметрической форме Рассмотрим дугу MN этой кривой. Пусть точкам М и N соответствуют значения параметра. Разделим дугу MN на части точками при этом положим.

Рассмотрим криволинейный интеграл.

определенный в предыдущем параграфе. Приведем без доказательства теорему существования криволинейного интеграла. Если функции непрерывны и имеют непрерывные производные также непрерывны функции как функции t на отрезке, то существуют пределы.

где — координаты некоторой точки, лежащей на дуге Эти пределы не зависят от способа деления дуги L на частичные дуги при условии, что не зависят от выбора точки на дуге они называются криволинейными интегралами и обозначаются так:

Сформулированная теорема дает возможность получить способ вычисления криволинейного интеграла.

Итак, по определению имеем.

где Преобразуем последнюю разнбсть по формуле Лагранжа:

где — некоторое значение, заключенное между значениями как точку на дуге можно выбирать произвольно, то выберем ее так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра.

Подставляя найденные значения в формулу (3), получим.

Справа стоит предел интегральной суммы для непрерывной функции одной переменной на отрезке .

Следовательно, этот предел равняется определенному интегралу от этой функции;

Аналогично получается формула.

Складывая почленно эти равенства, получим (1V).

Это и есть искомая формула для вычисления криволинейного интеграла.

Аналогичным образом вычисляется криволинейный интеграл.

по пространственной кривой, заданной уравнениями.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл от тройки функций (или, что-то же, от векторной функции) вдоль отрезка прямой, идущего от точки до точки.

Решение.

Для того чтобы найти параметрические уравнения линии MN, вдоль которой надлежит интегрировать, напишем уравнение прямой, проходящей чеез две точки:

обозначив все эти отношения одной буквой t, получим уравнения прямой в параметрическом виде:

При этом началу отрезка соответствует, очевидно, значение параметра, а концу отрезка — значение Производные от х, у, z по параметру t (которые понадобятся при вычислении криволинейного интеграла) находятся легко;

Теперь искомый криволинейный интеграл можно вычислить с помощью формулы (4):

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл от пары функций вдоль плоской кривой от точки до точки N (2; 8) (рис. 346). Решение, Для вычисления искомого интеграла.

надо иметь параметрические уравнения данной кривой. Однако заданное явно уравнение кривой является частным случаем параметрического: здесь параметром служит абсцисса точки кривой, и параметрические уравнения кривой таковы:

Параметр меняется от до Производные по параметру легко вычислить:

Следовательно, Укажем теперь на некоторые приложения криволинейного интеграла.

1. Выражение площади области, ограниченной кривой, через криволинейный интеграл. Пусть в плоскости Оху дана такая ограниченная контуром L область D, что всякая прямая, параллельная той или иной из координатных осей и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу L области не более чем в двух точках (т. е. область D правильная) (рис. 347).

Предположим, что на ось Ох область D проектируется в отрезок причем снизу она ограничивается кривой.

а сверху — кривой.

Теперь искомый криволинейный интеграл можно вычислить с помощью формулы (4):

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл от пары функций вдоль плоской кривой отточки до точки N (2; 8) (рис. 346). Решение, Для вычисления искомого интеграла надо иметь параметрические уравнения данной кривой. Однако заданное явно уравнение кривой является частным случаем параметрического: здесь параметром служит абсцисса точки кривой, и параметрические уравнения кривой таковы:

Параметр меняется от до Производные по параметру легко вычислить:

Следовательно,.

Укажем теперь на некоторые приложения криволинейного интеграла.

1. Выражение площади области, ограниченной кривой, через криволинейный интеграл. Пусть в плоскости Оху дана такая ограниченная контуром L область D, что всякая прямая, параллельная той или иной из координатных осей и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу L области не более чем в двух точках (т. е. область D правильная) (рис. 347).

Предположим, что на ось Ох область D проектируется в отрезок причем снизу она ограничивается кривой.

а сверху — кривой.

Тогда площадь области D равна.

Но первый интеграл есть криволинейный интеграл по кривой так как есть, уравнение этой кривой; следовательно,.

Второй интеграл есть криволинейный интеграл по кривой, т. е.

На основании свойства 1 криволинейного интеграла имеем.

Следовательно,.

При этом кривая L обходится в направлении против часовой стрелки.

Если часть границы L составляет отрезок параллельный оси Оу, то и равенство (5) остается справедливым и в этом случае (рис. 348).

Аналогично можно показать, что.

Складывая почленно равенства (5) и (6) и деля на 2, получим еще одну формулу для вычисления площади S:

Пр и мер 3. Вычислить площадь эллипса Решение. По формуле (7) находим:

Отметим, что формула (7), а также формулы (5) и (6) справедливы и для площадей, границы которых пересекаются линиями, параллельными координатным осям, более чем в двух точках (рис. 349).

Для доказательства этого разобьем данную область (рис. 349) с помощью линии I на две правильные области. Для каждой из них справедлива формула (7). Складывая левые и правые части, получим слева площадь данной области, справа — криволинейный интеграл (с коэффициентом ½), взятый по всей границе, так как криволинейный интеграл по линии раздела берется дважды — в прямом и обратном направлениях и, следовательно, равен нулю.

2. Задача о вычислении работы переменной силы F на некотором криволинейном пути L. Как было показано в начале § 1, работа, совершенная силой к вдоль линии, равна криволинейному интегралу:

Рассмотрим пример, показывающий, как производится вычисление работы силы в конкретных случаях.

Пример 4. Определить работу, А силы тяжести F при перемещении массы из точки в точку по произвольному пути L (рис. 350).

Решение. Проекции силы тяжести F на оси координат равны Следовательно, искомая работа.

Следовательно, в этом случае криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек. Точнее, работа тяжести зависит только от разности высот конечной и начальной точек пути.