Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Законы Ома и Кирхгофа, так же, как и в цепях постоянного тока, являются основой для анализа и расчета цепей синусоидального тока. Поэтому запишем их в символической форме.

Как было показано раньше, обобщенный закон Ома и правила Кирхгофа для мгновенных значений электрических величин в цепях с активным сопротивлением г записывались так:

где, напомним, в обобщенном законе Ома: знак «-г» перед ЭДС е и «-» перед и ставятся, когда источник ЭДС выступает в роли источника питания, а -е и +и — приемника, причем под г понимается сопротивление всей ветви (участка); в правилах Кирхгофа k — число токов (ветвей), сходящихся в узле; т — число источников ЭДС, п — число участков контура с г.

Заменив мгновенные электрические величины-оригиналы и активные сопротивления их комплексными изображениями, получим обобщенный закон Ома и правила Кирхгофа в комплексных формах:

Методы анализа и расчета синусоидальных цепей с использованием комплексных изображений

Анализ и расчет цепей синусоидального тока с использованием комплексных изображений или символического способа производится практически так же, как и цепей постоянного тока. При этом такие действия реализуются в общем случае в три этапа:

• 1) синусоидальные электрические величины-оригиналы и параметры цепей заменяются их комплексными изображениями по правилам, изложенным выше;
• 2) синусоидальные цепи анализируются и рассчитываются методами по аналогии с цепями постоянного тока (см. гл. 2) с использованием комплексных изображений электрических величин и параметров цепей;
• 3) в случае необходимости переходят от изображений к оригиналам, руководствуясь изложенными выше правилами.

Проиллюстрируем сказанное на трех примерах, когда цепи рассчитываются лишь методом преобразования схем, помня о том, что все другие методы, изложенные в гл. 2, пригодны для анализа и расчета цепей синусоидального тока, когда электрические величины и параметры записаны в комплексных формах. При этом объем вычислений возрастает, но это преодолевается использованием современной вычислительной техники.

Задача 4.8. На рис. 4.2, а представлена схема со следующими данными: U = 220 В, г_х = 100 Ом, г₂ = 400 Ом, С = 5 мкФ, I = 0,5 Гн,/ = 50 Гц. Определить напряжения и токи в ветвях символическим способом при условии, что ключи К1 и КЗ замкнуты, К2 — разомкнут. Записать оригиналы напряжений в ветвях.

Рис. 4.2.

Решение

1. Записываем исходные данные в комплексных формах, приняв U = U = 220 В:

Проверяем правильность решения задачи, но первому правилу Кирхгофа:

Ошибка в расчетах составляет по модулю тока 0,59 — 0,57 = 0,02 А или 3,5%, что вполне допустимо (при инженерных расчетах ошибка может составлять порядка 10−15%).

3. Записываем оригиналы напряжений в ветвях:

Задача, требующая решения.

Задача 4.11. В задаче 4.10 мощности S₂, Р₂, 0,2 можно вычислить и по-другому, что предлагается проделать читателям. Рекомендуется также рассчитать S_VP_V Q, S_n> P_fV Q"_f S_w P_w Q_w S_y Py Q по исходным данным задачи 4.10 и составить баланс мощностей.