Методы анализа и расчета переходных процессов

Исследование переходного процесса в любой электрической цепи сводится к составлению и решению системы дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа при заданных начальных условиях состояния цепи. Методов же анализа и расчета переходных процессов несколько, из которых относительно подробно рассматриваются ниже классический и операторный методы.

Классический метод

Сущность классического метода заключается в составлении дифференциальных уравнений цепи по правилам (законам) Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений после коммутации и решении их известными способами относительно искомых, т. е. в отыскании функций, при подстановке которых в дифференциальные уравнения они преобразуются в тождества.

Проиллюстрируем сказанное на следующих характерных качественных примерах.

1. Подключение последовательной цепи R, L под постоянное напряжение Требуется определить закон изменения тока в цепи по рис. 7.1, б после коммутации (ключ К в положении 1), т. е. после подключения ее на постоянное напряжение U, если до коммутации i(0) = 0.

Для такого случая второй закон Кирхгофа запишется так:

С учетом значений и_к и u_L это уравнение примет дифференциальную форму вида

Выражаясь математическим языком, (7−1) — это обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

Общий интеграл (неизвестное, искомое) такого уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. При этом частное решение физически выражает установившийся.

(принужденный) режим работы цепи, задаваемый источником электроэнергии и вызывающим, например, установившийся ток i_ycT. Общее же решение (7−1) получится, если его правую часть приравнять к нулю и учесть начальные условия. Физически это означает работу цепи при отсутствии источника электроэнергии, которая называется свободным режимом (свободным от источника питания), вызывающим свободный ток i_CB. Тогда переходный ток цепи найдется как сумма установившегося и свободного токов:

Составляющие (7−2) находятся следующим образом:

а) если правая часть исходного уравнения (7−1) постоянна (рассматриваемый случай), то установившийся ток будет.

б) свободный ток i_CB находится из равенства характеристическое уравнение которого имеет вид.

Из (7−5) находятся корень р = -R / L и постоянная времени.

Из математики известно, что общее решение (7−4) с учетом (7−6), запишется так:

Постоянная интегрирования А находится из (7−7) при начальных условиях: при t = 0 /(0 _) = 0, i_CB = А. Подставив значения г_уст и i_CB в (7.2), будем иметь 0 = U / R + А, откуда.

С учетом (7−8) формула (7−7) перепишем так: а выражение (7−2) примет вид.

Подстановка функции (7−10) в (7−1) превратит его в тождество. Это означает, что найдено выражение для определения искомого переходного тока i.

Напряжение на индуктивности u_L = Ldi / dt с учетом (7−9) запишется в виде.

Временные диаграммы токов г_уст, г_св, i и напряжения u_L, построенные, но (7−3), (7−9), (7−10) и (7−11), изображены на рис. 7.2, а.

Рис. 7.2.

Из рассмотренного очевидно, что:

• • установившийся ток постоянен и равен г' = U / R = /;
• • свободный ток затухает, но экспоненте от г_св = -U / R = -I при t = 0 до 0 при t-°°. Это теоретически, на практике г_св = -0,011 при t = 4,6 т. Поэтому через t = 4,6 т переходный процесс считается законченным;
• • переходный ток возрастает, но экспоненте от г = 0 при t = 0 до i = г_уст = = I при t — °°. Это теоретически, на практике г = 0,991 при t = 4,6 т, т. е. через t = 4,6 т переходный процесс практически заканчивается;
• • одна часть энергии источника питания запасается в магнитном поле индуктивности Э_? = 0,5LP, другая — преобразуется в тепловую энергию в резисторе Э, = PRt = Uk / R.

Из приведенного очевидно также, что время протекания переходного процесса зависит от постоянной времени т: чем больше т, тем больше время t протекания переходного процесса, и наоборот. Она может быть найдена графически как подкасательная к кривым токов и напряжений, что иллюстрируется рис. 7.2. Кроме того, из (7−9) очевидно, что при t = т г_св(т) = -// е ~ -I / 2,72 = -0,371. Это означает следующее: постоянная времени т — время, в течение которого свободная составляющая переходного тока уменьшается по абсолютной величине в е ~ 2,72 раза по сравнению с начальным его значением.

Исследование переходного процесса при подключении последовательной цепи R, С под постоянное напряжение аналогично рассмотренному. Поэтому, опустив математические выкладки, которые предлагается произвести читателям, приведем результирующую временную диаграмму (рис. 7.2, б) и прокомментируем ее.

Переходный процесс в последовательной цепи R, С, когда она подключается под постоянное напряжение, характеризуется:

• • зарядом конденсатора С через резистор R. Поэтому напряжение на конденсаторе и_с растет по экспоненте с нуля до U за бесконечно долгое время t = °°. Это теоретически, практически — за время t ~ 4,6 т, при котором i = 0,01/, и_с — 0,99{/;
• • уменьшением по абсолютной величине свободной составляющей переходного напряжения, как и в предыдущем случае, в е ~ 2,72 раза по сравнению с начальным его значением;
• • преобразованием энергии источника питания частично в энергию электрического поля конденсатора Э_с = 0,5 CU² и тепловую — в резисторе Э _R=m/R = PtR.
• 2. Исследование переходного процесса при подключении последовательной цепи R, С под постоянное напряжение аналогично п. 1, в чем

предлагается убедиться читателям.

3. Подключение последовательной цепи г, С под синусоидальное напряжение Требуется определить закон изменения напряжения и_св цепи по рис. 7.1, в после коммутации (ключ К в положении 1), если в момент коммутации и = = U_m sin (со/ + у).

Записываем уравнение для переходного напряжения:

Составляем для цепи дифференциальное уравнение, но второму закону Кирхгофа:

Составляющие (7.13) находятся следующим образом:

где т = гС.

С учетом (7−14) и (715) выражение (7−13) примет вид.

С учетом начального условия при t = 0: и_с (0) = и_с (0₊) = и_с = 0, А = = -U_CmX_c sin (|/ — cp-n/2)/Z, тогда.

Подставив последнее в (7.16), определяем выражение для искомого переходного напряжения:

Переходный ток в цепи будет.

где I_m = U_m / г, cos ср = г / Z, sin <�р = Х_с / Z.

При t = 0 (7−18) дает и_с = и_с (© = и_с (0₊) = 0, а (7−19) — i = 7(0) = 7(0₊) = = U_m sin |/ / г. Правильность последнего соотношения подтверждается тем, что в момент после подключения цепи по рис. 7.1, б под напряжение U_m sin (w? + |/) оно равно U_m sin (/, поскольку t = 0, и конденсатор «закорочен» (и_с (0₊) = 0), поэтому цепь словно состоит только из г, вследствие чего i = U_m sin |/ / г. Приведенное подтверждает правильность (7−18) и (7−19).

Временные диаграммы переходного напряжения и_с для двух случаев изображены на рис. 7.3, который обосновывается следующим образом.

Рис. 73.

А. Положим, что в момент коммутации установившееся напряжение проходит через нуль (со? + |/ - ф — л / 2) = 0), тогда, согласно (7−17), и_с = 0 и в цепи сразу наступает установившийся режим с и_с = и_с ^ = U_m sineo?, что иллюстрирует рис. 7.3, а.

Б. Если в момент коммутации |/ - ф = л / 2 установившееся напряжение максимально и равно U_m, то, согласно (7−17), u_Cn=-U_m, поэтому напряжения будут меняться, но рис. 7.3, б> из которого очевидно, что переходное напряжение и_с принимает максимальное значение при cot = л, но не более 2 U_m.

• 4. Исследование переходного процесса при подключении последовательной цени г, L под синусоидальное напряжение аналогично и. 3, в чем предлагается убедиться читателям.
• 5. Подключение последовательной цепи /?, L, С под постоянное напряжение

На рис. 7.4 изображены схема подключения R, I, С под постоянное напряжение U (а) и изменения переходных токов i для случаев, когда 8 > со₀, 5 = со₀ (б), 5 < со₀ (в). Требуется определить закон изменения тока в цепи по рис. 7.4, а после подключения ее па постоянное напряжение U (ключ К замкнут), если до коммутации г (0) = 0 и и_с(0) = 0.

Для такого случая второй закон Кирхгофа запишется так:

Перепишем это уравнение в дифференциальной форме:

Рис. 7.4.

Соответствующее ему характеристическое уравнение: корни которого запишутся так:

где 5 = R / 2L со₀ = 1 / lLC — резонансная угловая частота.

Переходный ток цепи запишется так:

где i_ycT = 0, поскольку в цепи присутствует емкость С. Тогда.

Для нахождения постоянных интегрирования Л₁ и А₂ продифференцируем (7−22):

и найдем начальное значение —^-(0) (-j-(O) обозначим так: di / dt{0}) следующим образом.

С учетом того, что начальные значения тока /(0) = 0 и напряжения г/_г(0) = = 0, уравнение (7−20) перепишется так:

т.е. di/dt{0} = U/L.

С учетом того, что /(0) = 0 и di / dt{0} = U / L, (7−22) и (7−22а) при t = 0 перепишутся соответственно так:

Решив совместно полученные уравнения, будем иметь С учетом полученного, (7−22) перепишется в виде.

Характер изменения переходного тока г зависит от знака подкоренного значения в выражении (7−21). Поэтому рассмотрим три случая.

1. 8 > со₀. При этом из (7−21) имеем, что R > 2yjb² — со§. Если при этом рЛ<�р₂[ то р 1 и р₂ — отрицательные и действительные числа, кривая eP_{t в (7−23) спадает медленнее, чем eP₂t. В результате переходный ток i меняется по рис. 7.4, б, т. е. апериодически.

При больших значениях С ее влияние мало и кривая i меняется, как в цепи с R, L (см. рис. 7.2, а); при малых значениях L ее влияние значительно и кривая i меняется, как в цепи с R, С (см. рис. 7.2, б).

2. 8 = со₀. При этом из (7−21) имеем, что R = 2/С, р_х = р₂ = -R / 2L = = -8. Опустив подробности, констатируем, что кривая тока i аналогична предыдущему случаю. Такой случай считается критическим.

3. 8 < со₀. При этом из (7−21) имеем, что R < 2y]L/C, а переходный процесс будет колебательным. В этом случае корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные:

где со_св = J-8² + С0аг = -^—е~^ы sinсо_св? называется угловой частотой сво;

свободных или собственных колебаний в цепи R> L, С, а Г_св = 2л / со_ГВ — периодом этих колебаний.

Переходный ток в цени в рассматриваемом случае, согласно (7−23), будет иметь вид

Полученное выражение показывает, что при подключении R, L, С иод постоянное напряжение ?/, когда 8 < со₀, в цени возникают затухающие синусоидальные колебания, причем огибающими кривой тока i служат кривые ±—^—е~^ы (см. рис. 7.4, в). Колебания возникают вследствие нериодического преобразования энергии электрического поля в С в энергию магнитного поля в L и обратно, причем эти колебания сопровождаются потерей энергии в R. Чем меньше 8 по сравнению с со₀ или больше R, тем медленнее затухает колебательный процесс. При 8 = 0 (идеальный случай) (о_св = ш₀ колебания не затухают.

О быстроте затухания колебательного процесса судят по величине е⁸⁷ш_св, которая называется декрементом затухания.

6. О переходных процессах в смешанных цепях Как было сказано выше, в сложной цепи переходный процесс может быть описан несколькими дифференциальными уравнениями, составленными по правилам Кирхгофа. При этом путем подстановки из одних уравнений в другие исключаются отдельные неизвестные с тем, чтобы получилось одно дифференциальное уравнение с одним неизвестным. Его целесообразно получить для тока индуктивности или напряжения на емкости, что облегчит определение постоянных коэффициентов в уравнении для свободного тока или напряжения.

В качестве примера исследуем переходный процесс при подключении смешанной цепи, состоящей из С, R, L, R₂ по рис. 7.5 (ключ К замкнут), под постоянное напряжение. При этом неизвестным будем считать изменение напряжения на емкости С, поэтому ток в индуктивности поначалу исключим из рассмотрения.

Рис. 7.5.

Составим уравнения:

• одно, но первому правилу Кирхгофа:

• два — по второму:

Методом подстановки из этих уравнений получим одно, где фигурирует искомое напряжение и_с, следующим образом.

Выразив ток г₂ из (7−25) и подставив в (7−24), получим.

Продифференцировав (7−26), будем иметь.

после преобразования которого окончательно будем иметь.

Из выражения (7−27) находят уравнение для и_с, затем — для i, i_i и i₂ изложенными выше способами. При этом в зависимости от соотношения параметров возможны апериодический и колебательный процессы по отдельности или вместе.

Из рассмотренных простых примеров можно понять, что последовательность анализа и расчета переходных процессов в линейных цепях классическим способом сводится к следующему.

• 1. Для исходной цепи:
  • а) уясняются (уточняются) начальные условия до коммутации;
  • б) после коммутации составляется система неоднородных линейных дифференциальных уравнений для мгновенных значений переходных токов в индуктивности и напряжений на емкости. Как указывалось выше, эта система уравнений методом подстановки преобразуется в одно дифференциальное уравнение с одним неизвестным, которое и решается. После этого ищут и другие неизвестные.
• 2. Находят частное решение указанного уравнения, соответствующее установившемуся (принужденному) режиму.
• 3. Находят общее решение уравнения, соответствующее свободному режиму.
• 4. С учетом начальных условий задачи и установившегося тока (напряжения) определяют постоянные интегрирования уравнений и. 3.
• 5. Найденные в п. 2 и 3 установившиеся и свободные токи (напряжения) складываются и получают искомые переходные токи (напряжения).

Основные достоинства и недостатки классического способа. Основное достоинство — он «нагляден» в том смысле, что при преобразованиях не теряется физическая картина переходного процесса. Основной недостаток — расчеты усложняются, особенно при рассмотрении разветвленных цепей с дифференциальными уравнениями второго и высшего порядков, что частично иллюстрируется качественным примером 5.

Вопросы и задания для самопроверки.

• 1. Что называют установившимися и переходными процессами в электрической цепи?
• 2. Что называется коммутацией и начальным и условиями цепи?
• 3. Сформулируйте законы коммутации.
• 4. Какие способы анализа и расчета переходных процессов вы знаете?
• 5. Какова последовательность анализа и расчета переходных процессов классическим способом?
• 6. Разберитесь внимательно в качественных примерах 1—6, приведенных выше.

Решенные задачи Задача 7.1. В цепи, показанной на рис. 7.6, известно: U = 220 В, R = 100 Ом, С = = 5 мкФ, L = 0,5 Гн. Определить законы изменения тока в цепи и напряжений на R и L, если она подключается к источнику питания замыканием ключа К1 при разомкнутом К2 и замкнутом КЗ.

Рис. 7.6'.

Решение

Записываем второе правило Кирхгофа для цепи в дифференциальной форме:

Далее, но схеме решения качественного примера 7.1: i = i_VCT + i_CB где i_ycT = U / R = = 220 / 100 = 2,2 A; Ri + Ldi / dt = 0; RLp + 1= 0, откуда p = -1 / RL, at = -p = RL = =100 0,5 = 50 c.

Ri_CB + Ldi_CB / dt = 0, г_св = Ke 'Л.

При t = 0 i = 0, i_yCT = 2,2 A, i_CB = А, тогда 0 = 2,2 + К, откуда К = -2,2 A; i_CB = -Ue~^^x = = -2,2*r'/⁵⁰ А, а / = г_уст + i_CB = U/ RUe~/R=U ( 1 — e~^) / R = 2,2(1 — ^^/⁵⁰) A.

_W/? = Ri = 100 • 2,2(1 — е-№) = 220(1 — ^°) B, u_L = Wi / dt = 0,5(0 + 1 / 50) бг^г>⁰' = = 0,01er'/⁵⁰ B.

Задача 7.2. В цепи на рис. 7.6 известно: U = 220 В, R_x = 100 Ом, R₂ = 400 Ом, С = 5 мкФ, L = 0,5 Гн. Определить законы изменения напряжения на конденсаторе и тока в цепи, если она подключается к источнику питания замыканием ключа К1 при замкнутом К2 и разомкнутом КЗ.

Решение.

где и_уст = U = 220 В.

откуда р = -1 / RC_y а т = -р = /?С=100 • 5 • 10~⁶ = 5 • 10 ⁴ с.

При t = Qu_c=0, u_U[) = U = 220 В, = К, тогда0 = U + К, откуда К = -U = -220 А. _Wc = -t/ert/т=-220е-'А В, au_c=u_wc™+u_CB= UUe~'/'= U (-е~'Р) = 220(1 -е-зооо,) _В; 1 IIC ~ 220.

i = / dt — UC(0 + - е-*/') = — = 2,2e~^2mt A.

x RC 100.

Задача 7.3. В цепи на рис. 7.6 известно: U = 110 В, R = 500 Ом, С = 100 мкФ, 1 = 4 Гн. Определить законы изменения тока в цени и напряжения на /?, L, С_у если она подключается к источнику питания замыканием ключа К1 при разомкнутых ключах К2 и КЗ.

Решение

Составляем дифференциальное уравнение цепи по второму правилу Кирхгофа:

где i = Cdu_c / dt.

С учетом этого уравнение примет вид.

переходное напряжение которого найдется как.

где и_с = U.

Свободный режим в исследуемой цепи будет протека ть так же, как в примере 5. Объясняется эго следующим. После коммутации в цепи на рис. 7.6 (К2 и КЗ разомкнуты) ток г = 0 (согласно первому закону коммутации), а и_с = U (согласно второму закону коммутации). Поэтому в свободном режиме (схема свободна от источника питания, т. е. U = 0) в цепи будет протекать процесс, как будто конденсатор, заряженный до напряжения U, разряжается на R и L, причем по апериодическому закону, поскольку в рассматриваемом случае R = 500 > 2 ^L/C =^4/100? 10^_6 =200 Ом. С учетом вышеописанного позаимствуем из примера 5 соотношения для искомых величин:

откуда р_{ = -25, р-> = -100. С учетом этого: