Расчет нелинейных цепей постоянного тока аналитическими методами

Для аналитического расчета нелинейных цепей НЭ должны быть заданы в виде аналитических функций, параметры цепи или их ВАХ заменены аналитическими выражениями, т. е. аппроксимированы. В зависимости от вида аппроксимации различают методы расчета нелинейных цепей: полиномный, линеаризации ВАХ, кусочно-линейной аппроксимации ВАХ, итерационный и др. Рассмотрим относительно подробно первые два из них, вторые — концептуально.

Полиномный метод. В нелинейной электротехнике ВАХ нелинейного элемента цепи обычно аппроксимируется в виде полиномов: степенного, экспоненциального, тригонометрического и др. При этом сначала подбирают подходящую функцию ВАХ нелинейного элемента цепи так, чтобы аппроксимирующая функция описывала бы ее с погрешностью, допустимой для инженерных расчетов; затем находят неизвестные коэффициенты подобранной функции; потом производят расчет.

Рис. 9.3.

Покажем, как эго делается, на следующем качественном примере. Положим, что к цепи (рис. 9.3, а), состоящей из линейного и нелинейного резисторов R и R', ВАХ которых изображены на рис. 9.3, б, приложено постоянное напряжение U. Требуется найти ток, напряжения на участках цепи и мощность.

Решение

Положим, что заданную ВАХ R' можно аппроксимировать степенным полиномом вида

Для простоты решения задачи ограничимся первыми двумя членами полинома (9−1), тогда.

где а_Л и а₂ подобраны (определены) в процессе аппроксимации кривой.

На основании второго закона Кирхгофа для схемы по рис. 9.3, а с учетом (9−2) запишем.

откуда Решение этого уравнения даст значение искомого тока, т. е.

Напряжения на линейном R и нелинейном R' элементах цепи будут.

Мощность, потребляемая цепью, найдется так же, как и в линейных цепях, т. е. Р = UI.

Метод линеаризации ВАХ. До обсуждения метода линиаризации ВАХ рассмотрим некоторые понятия и определения по нелинейным сопротивлениям и их схемам замещения.

Различают статические и дифференциальные сопротивления нелинейного элемента (НЭ).

Статическим сопротивлением НЭ, ВАХ которого известна (например, выпуклая кривая 0(3я на рис. 9.4, а), называется отношение постоянного напряжения в любой точке ВАХ (например, а на рис. 9.4, а) к току, протекающему по нему. Применительно к рис. 9.4, а

где т_ьг, т_Л, m_R — масштабы t/, I, R.

Рис. 9.4.

Дифференциальным сопротивлением НЭ, ВАХ которого известна, в точке (например, а на рис. 9.4, а) называется отношение бесконечно малых приращений напряжения и тока, т. е.

Если НЭ цепи работает в какой-либо точке ВАХ (например, а на рис. 9.4, а) или в узком диапазоне напряжения и тока (например, AU и АГ) вблизи от нее, где соответствующий участок ВАХ близок к прямой (на рис. 9.4, а выделен жирной короткой линией ВАХ), то НЭ можно заменить эквивалентной схемой, состоящей из источника напряжения (или ЭДС) и линейного сопротивления, равного дифференциальному сопротивлению в рабочей точке ВАХ НЭ (а на рис. 9.4, а).

Если через точку а провести касательную к ВАХ НЭ, совпадающую с выделенным квазилинейным участком (жирный отрезок на рис. 9.4, а), и продолжить его до пересечения с осью [/, то она отсечет отрезок гпцос = U₀. С учетом этого уравнение линии ас или напряжения запишется так:

Сущность метода линеаризации ВАХ НЭ заключается в замене заданного НЭ схемой замещения, состоящей из источника ЭДС и линейного дифференциального сопротивления, после чего анализ и расчет нелинейной цени производятся с учетом этой замены, т. е. как линейной цени. С учетом всего сказанного (9−7) можно переписать так:

а линейная схема, отвечающая (9−8), представлена на рис. 9.4, б.

Рассуждая аналогично по отношению к ВАХ НЭ, изображенной на рис. 9.4, в, можно составить уравнение.

которому отвечает линейная цепь по рис. 9.4, г.

Нами рассмотрен случай, когда в цени лишь один НЭ. Если их больше, все они заменяются соответствующими линейными схемами замещения, и цепь становится линейной. В качестве примера на рис. 9.5 представлены нелинейная цепь и эквивалентная ей линейная, где R и R_{ заменены ветвями R_;i и Е₀₁—7?_д1.

Рис. 95.

Кроме того, при желании НЭ можно заменить эквивалентной схемой, состоящей из источника тока и линейной проводимости, равной дифференциальной в рабочей точке ВАХ НЭ (С_д = 1 / /?_д). Величина же источника токаУ₀ отсекается в масштабе от оси I касательными к ВАХ НЭ (см. например, рис. 9.4, в).