Моделирование моделей

1. Задание 1

Тип нелинейности

Передаточная функция:

где:

.

Тогда передаточная функция примет окончательный вид:

Получим дифференциальное уравнение системы 3-его порядка:

;

Метод последовательного интегрирования Первое уравнение системы будет иметь вид:

.

Ему соответствует передаточная функция Суть метода последовательного интегрирования состоит в том, что дифференциальное уравнение разрешают относительно старшей производной:

а младшие производные и сам выходной сигнал получают последовательным интегрированием сигнала старшей производной. При этом выходная переменная и ее производные заменяется машинными переменными:

, , .

Тогда уравнение принимает вид:

.

Для составления схем для второго уравнения системы обратимся к передаточной функции Из последнего выражения следует:

отсюда из теоремы Лапласа об изображении производной получаем:

Тогда выходной сигнал представляется в виде суммы сигналов:

.

Схема моделирования методом последовательного интегрирования Результат моделирования методом последовательного интегрирования Система дифференциальных уравнений, схеме моделирования рисунка 1, имеет вид:

Метод канонической формы Суть метода состоит в том, что исходное уравнение разрешают относительно искомой переменной. Для этого его записывают в операторной форме:

и делят на (- порядок уравнения):

.

Далее уравнение разрешают относительно и группируют по степеням :

.

Отсюда получают выражение для выходного сигнала :

Схема моделирования методом канонической формы имеет вид, представленный на рисунке 3.

Схема моделирования методом канонической формы Вводим в командную строку: plot (simout.time (:), simout.signals.values (, 1)).

Результат моделирования методом канонической формы Система дифференциальных уравнений, соответствующая схеме моделирования на рисунке 3, имеет вид:

Метод вспомогательной переменной Вводим вспомогательную переменную:

.

Этой передаточной функции соответствует уравнение:

отсюда

. (13)

Из передаточной функции следует, что в операторной форме

отсюда, на основании обратного преобразования Лапласа:

. (14)

Введем переменные:

, .

Уравнения (13), (14), с учетом переменных, образуют систему уравнений, решающую дифференциальное уравнение (10):

Схема моделирования, соответствующая системе уравнений, представлена на рисунке 5.

Схема моделирования методом вспомогательной переменной Результат моделирования методом вспомогательной переменной Модель в пространстве состояний в нормальной форме Составляем дифференциальное уравнение:

.

Производим переход к машинным переменным Вектор состояний состоит из 3-х элементов:

.

Дифференциальное уравнение приобретает вид:

.

Получаем следующую систему уравнений:

.

Отсюда находим матрицы пространства состояний:

.

Схема моделирования методом модели в пространстве состояний в нормальной форме Результат моделирования методом модели в пространстве состояний в нормальной форме Модель в пространстве состояний в канонической форме Перейдем к канонической форме передаточной функции. Корни знаменателя равны:

.

моделирование дифференциальный уравнение интегрирование Следовательно,

и передаточная функция окончательно принимает вид:

.

Отсюда находим матрицы пространства состояний:

, ,, .

Результат моделирования методом модели в пространстве состояний в канонической форме Модель в пространстве состояний в форме простых сомножителей Пусть передаточная функция задана в нормальной форме

Представим передаточную функцию в виде сомножителей. Корни знаменателя равны: ,

следовательно, передаточная функция принимает вид:

.

Отсюда находим матрицы пространства состояний:

, ,, .

Во всех рассмотренных нами методах моделирования мы получили одинаковые результаты, потому что в основе моделирования лежит теория подобия, которая утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же.

2. Задание 2

Дано:

где .

Параметры системы уравнений:

, ,, ,

Нелинейность :

Подставляя значения получим: