Методы управляющего воздействия с обратной связью являются адаптивными методами учитывающими не только начальное положение системы, а и текущее состоянии при выработке текущей управляющей силы. Это позволяет, в частности, подавлять возможные ошибки измерения и управления, которые могут возникать в конкретной физической системе. Далее мы рассмотрим метод управления при помощи обратной связи, который использует запаздывание — метод Пирагаса.
Метод Пирагаса.
В 1992 году литовским физиком К. Пирагасом был предложен метод обратной связи с запаздыванием (time-delayed feedback) [7]. В этой работе рассматривалась задача стабилизации τ-периодической орбиты нелинейной системы.
(2).
(где , — вектор управляющих переменных), с помощью простого закона обратной связи:
(3).
где — коэффициент передачи, а — время запаздывания.
В случае, когда равно периоду существующего периодического решения уравнения (2) при и решение уравнения замкнутой системы (2), (3) начинается в точке, то оно остается в для всех t ≥ 0. Удивительным, однако, является то, что x (t) может сходиться к Γ, даже если .
Закон обратной связи (3) используется также для стабилизации периодического возбужденного процесса в системе (2) с T-периодической правой частью. Тогда τ следует брать равным T. Естественным образом методра спространяется на задачи стабилизации состояний равновесия и периодических траекторий дискретных систем.
Позже был предложен «расширенный метод Пирагаса», при котором управление имеет вид.
(4).
где — измеряемый выход; - настраиваемые параметры. При, и m → ∞ алгоритм (4) принимает вид.
(5).
Несмотря на простой вид алгоритмов (6.16) — (6.18), аналитическое исследование замкнутой системы оказалось сложной задачей.
В некоторых работах исследовалась устойчивость возбужденного T-периодического решения системы Лурье с «обобщенным регулятором Пирагаса».
где G (p) (p = d/dt) — передаточная функция фильтра. С использованием методов теории абсолютной устойчивости (см., напр., [15]) в этих работах получены достаточные условия, которым должна удовлетворять передаточная функция линейной части управляемой системы, а также условия на крутизну нелинейной характеристики, которые должны быть выполнены, чтобы фильтр G (p) был стабилизирующим. Также была предложена процедура синтеза «оптимального» регулятора, максимизирующего размер области устойчивости. В других работах получено простое необходимое условие стабилизируемости с помощью алгоритма Пирагаса (3) для одного класса дискретных систем («ограничение нечетности»). Условие распространено на более общий случай, а также на системы непрерывного времени независимо в работах на основе теории Флоке.
Пусть Φ(t) — фундаментальная матрица линеаризованной системы относительно заданного τ-периодического решения (матрица монодромии). Как известно, собственные числа матрицы Φ(τ) (мультипликаторы) μi, связаны с показателями Ляпунова τ-периодического решения соотношениями. Указанное необходимое условие заключается в том, что число вещественных собственных чисел матрицы Φ(τ), больших единицы, не должно быть нечетным. Позже некоторые авторы получали и уточняли приближенные оценки границ значений коэффициента обратной связи K, обеспечивающих стабилизацию периодического решения. Интересно, что полученная область значений K, обеспечивающих стабилизацию, включает сколь угодно малые значения K при малой степени неустойчивости, и становится пустой (исчезает) при достаточно большом .
Если в соотношении (5) выбрать, то получаемый алгоритм также можно применять, хотя получаемый регулятор становится неустойчивым. Было показано, что использование неустойчивого регулятора позволяет существенно ослабить ограничения на матрицу объекта Φ(t) и, в частности, снять «ограничение нечетности».
Несмотря на существенную информацию о свойствах метода Пирагаса, полученную в последние годы, проблема нахождения достаточных условий, гарантирующих применимость исходного алгоритма (3), до сих пор остается нерешенной.
Недостатком закона управления (3) является его чувствительность к выбору параметров, особенно — к выбору времени запаздывания τ. Очевидно, если система T-периодическая и цель управления состоит в стабилизации вынужденного T-периодического решения, то обязательно следует выбирать τ = T. Альтернативным эвристическим приемом является моделирование собственных процессов в системе при начальных условиях x (0) до тех пор, пока текущее состояние x (t) не приблизится к x (s) при некотором s < t, т. е. Пока не выполнится условиеx (t) − x (s) — < ε. Тогда выбор τ = t − s даст разумную оценку периода, а вектор x (t) будет тем исходным состоянием, при котором начинается управление процессом. Этот подход, однако, часто приводит к завышенным значениям периода. Так как хаотические аттракторы имеют периодические решения с разными периодами, то важно найти и стабилизировать (с помощью малого управления) движение с наименьшим периодом. Эта проблема пока также остается открытой.
Пример применения метода Пирагаса.
В данном разделе рассматривается следующая система нелинейных дифференциальных уравнений (см. также [7,10]):
(6).
где — фазовые переменные, — управляющая функция.
Систему (6) будем рассматривать при следующих значениях параметров.
.
то есть получаем систему.
. (7).
Для системы (7) при в работе [7] были посчитаны периодические решения и установлено, что его период равен .
Будем выбирать управляющее воздействие по методу Пирагаса в виде.
При этом значение численного параметра возьмем следующим: .
На рисунке приведенном ниже представлены результаты численного моделирования.
Заключение
.
В данной реферативной работе рассмотрен вопрос управления нелинейными системами дифференциальных уравнений с хаотической динамикой. Исследуется задача нахождения такого управления, которое бы существенно меняло свойства системы, например, превращало бы хаотическое движение в периодическое. Управление хаосом является современной математической дисциплиной, которая интенсивно исследуется. Существует как минимум три активно развивающихся: направление программного (вибрационного) управления; метод линеаризации отображения Пуанкаре; метода запаздывающей обратной связи Пирагаса. В реферате рассматривается последний метод: метод Пирагаса, в котором управление строится в виде обратной связи с запаздыванием. В реферате приводятся необходимые теоретические сведения из теории управления хаотическими системами, приведено описание и анализ метода Пирагаса, приведен пример его использования для стабилизации одной конкретной управляемой системы с хаотическим поведением.
Магницкий, Н. А., Сидоров, С. В. Новые методы хаотической динамики / - М.: Едиториал УРСС, 2004. — 320 с.
Фрадков А. Л. Кибернетическая физика. СПб.: Наука, 2003.
Шашихин В. Н. Хаос и нелинейная динамика. Регулярная и хаотическая динамика: учеб. пособие / В. Н. Шашихин. — СПб.: Изд-во Политехн.
ун-та, 2010. — 210 с.
Малинецкий Г. Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г. Г. Малинецкий, А.
Б. Потапов. — М.: Эдиториал УРСС, 2000. — 336 с.
Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Управление хаосом: Методы и приложения. I. Методы. Автоматика и телемеханика. 2003, (5). C.3−45.
Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Управление хаосом: Методы и приложения. II. Приложения. Автоматика и телемеханика. 2004, (4), C.3−34.
P yragas K. C ontinuous control of chaos by self-controlling feedback. P hys. L ett.
A. 1992. V.
170. 421—428.
L i T., Yorke J.A. Period three implies chaos. A mer. M ath.
M onthly. 1975. V. 82. pp.
985—992.
O tt E., Grebogi C., Yorke G. C ontrolling chaos.
P hys. R ev. L ett.
1990. V.
64. (11) 1196—1199.
Leonov G. A., «Pyragas stabilizability via delayed feedback with periodic control gain», Systems & Control Letters 69, 34−37 (2014).
Леонов, Г. А., Звягинцева, К. А., Стабилизация по Пирогасу дискретных систем запаздывающей обратной связью с периодическим импульсным коэффициентом усиления. Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 2 (60). 2015.
Вып. 3, стр. 342−353.
Fradkov A.L., Pogromsky A.Yu. (1998). Introduction to control of oscillations and chaos. Singapore: World Scientific Publishers.
Леонов Г. А., Шумафов М. М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем. СПб.: СПбГУ, 2002.
Гукенхеймер Дж., Ф. Холмс. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.: Изд-во УРСС, 2002.
Леонов Г. А., Смирнова В. Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. СПб.: Наука, 2000.
