Свойства математического ожидания

• 1. мс = с.
• 2. МСХ = СМХ.
• 3. М{Х + а) = MX + а, а = const.
• 4. Пусть случайная величина У является функцией /(х) от случайной величины X.

Начальным моментом #с-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины X*.

Центрированная случайная величина — это величина, равная Х' = Х-МХ.

Центральным моментом Ас-го порядка называется начальный момент к-го порядка случайной величины У.

Дисперсией случайной величины X называется центральный момент второго порядка случайной величины X.

Дисперсия является мерой концентрации результатов конкретных испытаний над случайной величиной X.

Свойства дисперсии

• 1.Чем меньше дисперсия, тем более тесно группируются результаты конкретных испытаний относительно математического ожидания.
• 2. Если дисперсия равна 0, то Xconst.
• 3. D (X + С) = DX.
• 4. DCX=C²DX.

Определение 2. Функцией распределения F (x) случайной величины X называется функция.

Значение функции распределения в точке х₀, таким образом, равно вероятности того, что случайная величина принимает значение, меньшее Хо. Случайная величина считается заданной, если задана ее функция распределения.

На практике часто для непрерывной случайной величины X используют дифференциальную функцию распределения или функцию плотности вероятности, которую определяют как следующий предел:

Из соотношения (3) с учетом определения 2 следует, что.

Построим функцию распределения для дискретной случайной величины. Для удобства договоримся, что случайные величины располагаются в порядке возрастания.

т. е. по определению для любого действительного X, функция F{x) численно равна вероятности наступления следующего события: в результате испытаний над X оно приняло значение строго меньше х:

Рис. 1.

Весь аппарат теории вероятностей применим только к массовым явлениям, отвечающим требованию статистической устойчивости. Явление же статистической устойчивости результатов наблюдений имеет место лишь при большом (в пределе — бесконечно большом) числе измерений. Именно это подчеркивает определение «статистический», и факт массовой устойчивости составляет содержание закона больших чисел. Однако в подавляющем числе экономических экспериментов приходится иметь дело лишь с ограниченным, обычно небольшим, числом наблюдений. Вследствие случайности, величины, определенные по малому числу наблюдений, вообще говоря, могут не совпадать с теми же величинами, вычисленными по большому числу наблюдений, выполненных в тех же условиях. Поэтому, чтобы провести различие между характеристикой случайной величины, найденной по достаточно большому (в пределе — бесконечно большому) и малому числу наблюдений, в математической статистике вводят понятия абстрактной генеральной совокупности, состоящей из всех мыслимых в данных условиях наблюдений, и выборки, представляющей собой совокупность ограниченного числа наблюдений. В соответствии с этим различают выборочные характеристики случайной величины, найденные по ограниченному числу наблюдений (выборке) и зависящие от этого числа, и соответствующие им характеристики в генеральной совокупности, не зависящие от числа наблюдений. При этом выборочные характеристики рассматриваются как оценки соответствующих характеристик в генеральной совокупности. Существенно, что выборочные характеристики случайной величины, в отличие от генеральных, сами являются случайными величинами.

Для общности будем рассматривать математическое ожидание функции у (х) случайной величины X с функцией плотности вероятности ф (х).

Определение 3. Математическим ожиданием функции у (х) будем называть выражение.

Математическое ожидание выражает усреднение некоторой функции у (х) при помощи закона распределения аргумента, задаваемого функцией плотности вероятности ср (х). Поэтому его называют также средним значением функции для генеральной совокупности или просто генеральным средним значением функции. Это есть некоторое число.

Для у (х) = х имеем математическое ожидание случайной величины.

Математическое ожидание М{Х) случайной величины X по определению есть среднее значение для генеральной совокупности, или генеральное среднее р. Соответствующая выборочная характеристика случайной величины X есть среднее значение наблюдаемых значений х₁, х₂,…, х_п случайной величины, т. е.

которое называется также средним арифметическим.

При оценке результатов эконометрического эксперимента применяют почти исключительно среднее арифметическое. Если измерений достаточно много, то такое среднее представляет собой, как правило, достаточно хорошее приближение для генерального среднего. Однако среднее арифметическое не стоит вычислять для распределений с несколькими максимумами. В этом случае определяют срединное значение, называемое также медианой. Чтобы найти его, результаты измерений упорядочивают по возрастанию. Если число измерений нечетно, то медиана равна срединному члену ряда. При четном же числе наблюдений медиана равна среднему арифметическому двух срединных членов упорядоченного ряда наблюдений. Срединное значение — в противоположность среднему арифметическому — нечувствительно к резко выделяющимся результатам эксперимента, поэтому его лучше использовать для характеристики небольших серий измерений, когда проявление таких резко выделяющихся значений типично.

Отдельные результаты измерений или наблюдений из экспериментального распределения (выборки) более или менее тесно группируются вокруг среднего значения. Характеристикой разброса результатов эксперимента относительно среднего чаще всего считают стандартное отклонение. Стандартное отклонение — это результат вычисления выборочной дисперсии.

Определение 4. Дисперсия ст^х) случайной величины X для генеральной совокупности (генеральная дисперсия) определяется как генеральное среднее квадратов ее возможных отклонений от генерального среднего р, т. е. как математическое ожидание функции у = (х — р)²

где ф (х) — функция плотности вероятности случайной величины. Положительное значение корня квадратного из дисперсии, т. е. о (х) называется генеральным среднеквадратичным или стандартным отклонением (ошибкой).

Выборочную дисперсию п наблюденных значений случайной величины X в математической статистике принято определять выражением.

где х — среднее арифметическое по результатам измерений.

Замена р на х обусловлена тем, что число измерений, как правило, ограничено и генеральное среднее р является неизвестным. Использование множителя 1/(л-1) вместо 1/л при определении выборочной дисперсии вызвано тем, что только в этом случае выполняется.

т. е. случайная величина s²(x) будет иметь математическое ожидание, равное дисперсии случайной величины X.

Таким образом, и выборочное среднее, и выборочная дисперсия вычисляются по результатам измерений и зависят от их числа. Эту зависимость принято характеризовать числом степеней свободы.

Число степеней свободы выборочной характеристики есть полное число независимых наблюдений за вычетом числа связей, которые накладываются на результаты наблюдений при вычислении рассматриваемой характеристики. Поскольку выборочная дисперсия s²(x) вычисляется через выборочное среднее х, которое и есть связь результатов п измерений случайной величины X, то число степеней свободы для s²(x) равно п -1.

Проведенное нами рассмотрение касалось экономических явлений, которые можно описать одной случайной величиной. В реальности таких ситуаций почти не бывает. Любой факт есть результат взаимодействия многих факторов и его следует в моделях представлять как композицию ряда случайных величин.

Взаимосвязь двух случайных величин в теории вероятностей принято описывать смешанными моментами и ковариацией.

Смешанным моментом порядка k, I называют величину.

Например, /И (Х) = /7?₁₀;М (У) = /77₀₁.

Центральным моментом порядка к, I называется величина.

Например, 0(Х) = м₂₀;0(У) = Мо2.

Для описания связи между случайными величинами X и У применяют центральный момент порядка 1,1 ftj_n), который называется ковариацией случайных величин X и У:

о_ку = cov (X.V) = М ((Х — М (Х))(У — M (Y)) = M (XY) — M (X)M (Y).

Ковариация является абсолютной (зависящей от размерностей) мерой взаимосвязи (co-vary — «совместное изменение») переменных.