Оценивание параметров структурной модели при отсутствии проблемы идентификации

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены различными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение для точно идентифицируемых систем получили следующие методы:

• ? косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);
• • метод инструментальных переменных (ИП).

Допустим, требуется оценить параметры уравнения функции потребления в простой модели Кейнса формирования доходов:

где C_t, Y_t, l_t — объем потребления, совокупный доход и инвестиции соответственно, а — случайный член.

Структурный коэффициент р характеризует предельную склонность к потреблению.

В исходной модели С, У, — эндогенные переменные, a l_t — экзогенная переменная. Непосредственное оценивание параметров (а, Р) в структурном уравнении функции потребления дает смещенные и несостоятельные оценки, т. к. объясняющая переменная Y_t является эндогенной.

Разрешая структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему.

В приведенной системе коэффициенты при переменной 1_{, равные р/(1 — Р) и 1/(1 -Р), — это инвестиционные мультипликаторы потребления и дохода соответственно. Это значит, что если объем инвестиций возрастет на единицу, то объем потребления увеличится на величину р/(1 — Р), а совокупный доход — на величину 1 /(1 — Р).

Рассмотрим косвенный метод наименьших квадратов как метод оценивания структурных коэффициентов (а, Р).

Уравнение для С, в приведенной форме можно также представить в виде.

В этом уравнении экзогенная переменная /, не коррелирована со случайным членом е|, поэтому для оценки параметров (а', р') можно использовать обычный метод наименьших квадратов.

Для удобства рассмотрения оценку параметра и сам параметр будем в дальнейшем обозначать одним символом (параметром).

Оцененное уравнение

полученное по выборочным данным с помощью метода наименьших квадратов, дает несмещенные и состоятельные оценки параметров.

Используя выражения (149), получаем оценки (а, Р) структурных коэффициентов:

Поскольку получены единственные оценки (а, р) структурных коэффициентов через оценки (а', р') приведенных коэффициентов, то структурное уравнение функции потребления является однозначно определенным (точно идентифицируемым).

Таким образом, КМНК включает в себя следующие этапы.

• 1. Исходя из структурных уравнений, строят уравнения в приведенной форме.
• 2. Оценивают по МНК параметры уравнений в приведенной форме.
• 3. На основе оценок, найденных на этапе 2, рассчитывают параметры структурных уравнений.

В методе инструментальных переменных проблема коррелированности объясняющей переменной Y_t со случайным членом ?, в структурном уравнении разрешается путем введения такой переменной, которая коррелирует с неудачно объясняющей переменной Y_t, но не коррелирует со случайным членом Е_г

В нашем случае модель Кейнса сама предоставляет такую переменную. Переменная 1₍ коррелирует с VJ, т. к. Y_t зависит от /, и не коррелирует с е, поскольку является экзогенной переменной.

В общем случае, когда оценка, полученная косвенным методом, единственна, она совпадает с оценкой, полученной методом инструментальных переменных.