Методологическое прерывание 2.15. Аксиоматика до и mate Евклида

Евклида вряд ли можно считать пионером аксиоматического способа построения науки. Еще до него Аристотель подробно сформулировал принципы аксиоматического подхода, а он не мог бы этого сделать, если бы аксиоматика, пусть в недостаточно развитом виде, уже не использовалась бы другими математиками. Ведь известно, что и до Евклида появлялись математические трактаты с названием «Начала».

После Евклида его комментаторы, естественно, делали попытки усовершенствовать аксиоматику. «Однако, — пишет П. К. Рашевский, — эти попытки… не знаменовали собой новых, принципиально более высоких точек зрения и делались ощупью» [40, с. 14]. И вот вывод Рашевского:

«Подлинное развитие вопроса об основаниях геометрии пошло не по прямому пути логического уточнения аксиоматики и доказательств Евклида, а осуществилось причудливым образом через длинный ряд попыток исправить Евклида там, где он был совершенно прав. Мы имеем в виду историю V постулата Евклида».

Заметим здесь, что наука вообще имеет обыкновение развиваться «причудливым образом» и нередко совершает неожиданные скачки.

Нам нет смысла углубляться в историю V постулата, поскольку имеется монография [4], в которой эта история подробнейшим образом освещена. Отметим только, что разнообразные попытки доказать V постулат как теорему делались на протяжении 2000 лет и продолжались даже после того, как Николай Иванович Лобачевский (в докладе 1826 г. и мемуаре 1829 г.) и независимо от него Янош Бойяи (в 1832 г.) опубликовали идеи, свидетельствующие о непротиворечивости неэвклидовой геометрии.

В 1860-х годах открытие Н. И. Лобачевского наконец было признано многими учеными (исключением был К. Ф. Гаусс, который еще раньше научился читать по-русски, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского, хотя и не нашел в них для себя «ничего фактически нового»). Тогда и стала актуальной задача построения аксиоматических систем, удовлетворяющих требованиям полноты, независимости и непротиворечивости.

В 1882 году в составе «Лекций по новой геометрии» Морица Паша (1843—1930) была опубликована аксиоматическая система, содержавшая 12 аксиом принадлежности и порядка и 10 аксиом конгруэнтности [40, с. 19—20]. В 1889 году вышли «Логически изложенные основания геометрии» Джузеппе Пеано (1858−1932), в которой были даны только аксиомы принадлежности и порядка.

Марио Пиери (1860−1913), ученик Джузеппе Пеано, в 1899 году опубликовал книгу «Элементарная геометрия как дедуктивная система», в которой аксиоматическая система была построена на основе двух основных понятий: точка и движение. Например, плоскость в этой системе получалась как совокупность прямых, соединяющих точки некоторой прямой с точкой, не лежащей на этой прямой [Там же, с. 22].

В какой-то степени система Пиери напоминала античные предстаатения о том, что движение точки производит линию, а движение линии — плоскость. Нужно заметить, что Лобачевский придерживачся противоположных взглядов — для него первичным понятием было тело, а поверхность и точка рассматривались как производные от тела.

И наконец, в 1899 году, как уже было сказано в методологическом прерывании 2.11, вышла книга «Основания геометрии» Давида Гильберта (1862—1943), ставшая классическим образцом аксиоматического построения этой науки. На исходном материале этой книги остановимся подробнее.

Первая глава книги Гильберта начинается словами:

«Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем Л, В, С,…; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем а, Ь, с,…; веши третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем а, (3, у,…

Мы мыслим точки, прямые и плоскости в определенных соотношениях и обозначаем эти соотношения различными словами, как-то: «лежать», «между», «конгруэнтный», «параллельный», «непрерывный». Точное и для математических целей полное описание этих соотношений достигается аксиомами геометрии".

Видно, что здесь перед нами перечень терминов теории и их обозначений без каких-либо пояснений или ссылок на наглядные образы. Это типично для аксиоматизированных теорий — грубо говоря, они описывают неизвестно что. Д. Гильберт допускает еще некоторую вольность, используя в дальнейшем изложении нс только слова из приведенного выше перечня «соотношений», но и их синонимы. В «хорошо аксиоматизированной теории» даже это не должно разрешаться.

После перечня терминов Гильберт помешает аксиомы с некоторыми комментариями. Полностью приводить здесь систему аксиом Гильберта нет необходимости, но полезно дать хотя бы несколько примеров. Вот первые три аксиомы из первой группы (в нее входят аксиомы соединения, или принадлежности):

«I,. Для любых двух точек А, В существует прямая а, принадлежащая каждой из этих двух точек А, В.

• 1₂. Для двух точек/4, В существует не более одной прямой, принадлежащей каждой из точек А, В.
• 1₃. На прямой существуют по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой".

Заметим, что Гильберт использует без определения слово «существует», значение которого вовсе не очевидно (и не выясняется из аксиом). Хотелось бы считать, что математический объект существует тогда, когда его можно построить или хотя бы указать область, в которой он находится.

К сожалению, в математике имеются теоремы существования, не указывающие способа построения рассматриваемого объекта, а только утверждающие, что его существование не противоречит аксиомам.

В этом отношении конструктивные формулировки постулатов Евклида, безусловно, лучше неконструктивных формулировок аксиом Гильберта. Ведь в дальнейшем, при выводе следствий из аксиом, Гильберту все равно приходится говорить: «…на основании аксиомы… выберем точку» — а как? Может быть, следовало оговорить возможность произвольного выбора точки в качестве одного из правил вывода — вообще говоря, такие правила должны присутствовать в любой аксиоматизированной теории, — но Д. Гильберт их не формулирует.

Дальнейшее содержание книги Гильберта (введение новых понятий с помощью определений через уже известные, доказательства теорем, исследование непротиворечивости и взаимной независимости аксиом и т. д.) не будем обсуждать. Некоторые дополнительные сведения были уже приведены в методологическом прерывании 2.11.

Пример современной аксиоматизированной теории можно найти в любом учебнике математической логики.

Однако, прежде чем выйти из прерывания, затронем вопрос о том, нужно ли стремиться к аксиоматизации всякой теории.

Конечно, аксиоматизированная теория выглядит красиво. Однако вспомним слова П. К. Рашевского из предисловия к книге Д. Гильберта, о которой только что шла речь (они были приведены без сокращений в методологическом прерывании 2.4):

«Геометрия как физика изучает свойства протяженности материальных тел (и значит, ее объекты определяются не с помощью аксиом, а через указание на материальные тела)… Геометрия как математика интересуется лишь логическими зависимостями между своими положениями, более точно — занимается логическим выводом из некоторого числа положений (аксиом) всех остальных».

Это значит, что аксиоматизация нужна в тех случаях, когда представляет интерес логическая структура теории, а не отношение ее к внешнему миру. И тогда аксиомы должны быть сформулированы так, чтобы по соответствующим правилам вывода из них можно было получить все другие утверждения теории (а также, возможно, исследовать вопрос: как деформируется теория, если отказаться от какой-либо аксиомы?).

Сопоставим с этими, казалось бы, очевидными положениями две первые аксиомы из числа предлагавшихся отечественными специалистами в качестве основы теории измерений:

«1. Существует истинное значение измеряемой величины.

2. Истинное значение измеряемой величины определить невозможно".

Что и каким образом из этого можно вывести?

Создается впечатление, что аксиоматизация представляет собой острое, но и опасное орудие развития науки, и с этим орудием следует обращаться с надлежащей осторожностью.