Введение. 
Математическое моделирование нелинейных процессов

За всю историю развития науки было предложено удивительно мало классов математических моделей, которые тем не менее описывают множество явлений различной физической природы. Все эти модели встречаются при создании математического описания биологических систем. В качестве первоначального чтения о применении математического моделирования в биологии можно порекомендовать книги Г. Ю. Ризниченко и А. Б. Рубина и Г. Ю. Ризниченко, вышедшие в издательстве [5—7|.

Природа дискретна. Популяции состоят из отдельных особей, организмы и ткани — из отдельных клеток. Для описания дискретных систем существует два класса моделей — дискретные отображения и клеточные автоматы. Первые являются аналогами ОДУ, вторые — аналогами уравнений в частных производных. Интерес к дискретным моделям в мире возрастал по мере совершенствования вычислительной техники, позволившей сделать рывок в их изучении. Отмстим, что, несмотря на простоту компьютерной реализации этих классов моделей, с точки зрения теоретической математики они являются более сложными, чем непрерывные модели.

Более изученными являются математические модели, описываемые системами ОДУ. Методы решения систем ОДУ обусловили прогресс таких наук, как классическая механика, астрономия, физика. Появление нелинейных моделей во многом связано с возникновением численных методов и вычислительной математики. Математический аппарат для решения систем ОДУ развивается и в настоящее время. Разработаны мощные численные методы, некоторые из них рассмотрены в учебнике. Развиваются качественные методы исследования автономных систем ОДУ, асимптотические методы. Вместе с тем многие биологические и экологические задачи дают толчок к развитию серьезных математических теорий^[1].

Следующий класс моделей — уравнения с запаздыванием — частный случай интегро-дифференциалъиых уравнений. Модели такого типа описывают нелокальные взаимодействия и системы с запаздывающими обратными связями. Существует множество моделей физиологических процессов на основе ОДУ с запаздыванием^[2].

Сложные процессы, развивающиеся как в пространстве, так и во времени, описываются дифференциальными уравнениями в частных производних. В математических моделях живых систем встречаются уравнения и системы гиперболического типа, которыми описываются процессы переноса примесей, течения иевязких сред, волновые процессы в упругих средах и др. В качестве примера успешного применения сложной математической модели, описываемой уравнениями гиперболического типа, можно привести математическое моделирование процесса литотрипсии — разрушения почечных камней^[3].

Чаще других встречаются модели типа «реакция — диффузия» — полулинейные системы параболического типа. Одним из замечательных режимов в таких системах является образование стационарных диссипативных структур (ДС), открытых А. Тьюрингом^[4]. Кстати, весьма цитируемая указанная работа А. Тыоринга заслуживает того, чтобы быть прочитанной полностью молодыми исследователями. Кроме революционных идей, положивших начало современной математической биологии и термодинамике неравновесных процессов, работа может рассматриваться и как образец работы по математическому моделированию. Автор не только сформулировал в статье несколько разных математических моделей, но даже привел результаты расчетов для случая двух пространственных переменных. Сейчас реализация модели Тыоринга в этом случае — уровень несложной курсовой работы, но в 1952 г. численные результаты представлялись просто фантастическими!

В полулинейных системах параболического типа могут существовать и другие замечательные решения, например в виде бегущих волн^[5]. Изучению математических моделей, описывающих ДС и бегущие волны, посвящена обширная литература, перечисление работ, но этой теме выходит за рамки элементарного введения.

Уравнения эллиптического типа описывают стационарные распределения в системах различной природы. В частности, они описывают установившиеся (стационарные, нс зависящие от времени) структуры в многомерных системах типа «реакция — диффузия». Уравнениями эллиптического типа описываются также стационарные течения вязкой жидкости, нашедшие свое применение при моделировании, например, операции, но поводу факоэмульсификации хрусталика глаза или моделирования переноса примеси (загрязнения) в водоеме со сложной береговой линией^[6].

Среди базовых математических моделей физических процессов отметим полностью интегрируемые (гамильтоновы) системы. К ним относится, например, уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ). Особо выделяется класс.

солитонных решений — нелинейных волн, возникающих в среде с дисперсией. Солитоны сохраняют при взаимодействиях некоторые свойства частиц^[7].

Исследования сложных математических моделей динамических систем при моделировании биологических, медицинских, экологических задач сталкиваются с трудностями технического характера. Как правило, в формулировку задачи входит большое число параметров, многие из которых известны с точностью лишь до порядков. Системы обладают значительной нелинейностью и объединяют уравнения разных типов. Выполнить исследование задачи с помощью аналитических методов невозможно, одни численные методы не дают возможности провести оценку всех возможных случаев. Исследователю необходимо разумное сочетание численных и аналитических методик.

К сожалению, в большинстве книг по численным методам не обсуждаются важные вопросы применимости схем для решения различных задач и аналитические методы исследования сложных многокомпонентных систем.

Авторы этого учебника планируют особое внимание уделять именно современным численным методам в сочетании с аналитическими подходами к исследованию математических моделей.

Некоторые модели намеренно не затрагиваются в тексте. Так, авторы стремились рассматривать, насколько это возможно, лишь детерминистские модели. Вопросы построения и применения стохастических моделей не относятся к темам данного учебника.

Авторы также не затрагивают важную тему имитационного моделирования процессов. Отмстим, что в последнее время появилось много книг по применению методов имитационного моделирования, в том числе и учебного характера^[8]. Под имитационными моделями обычно понимаются такие математические модели, для создания которых не хватает экспериментальных данных, а у исследователей нет достаточного понимания законов функционирования изучаемой системы. Тогда математическая модель будет включать в себя большое количество гипотез, подлежащих проверке, и большое количество «настраиваемых» параметров.

Итак, в сфере интересов авторов будут лежать детерминистские модели динамических процессов. Примеры, которыми будут иллюстрироваться методы, в основном берутся из биологии или медицины: с одной стороны, в этих науках вполне возможно подобрать нетривиальную красивую модель с обозримой математической основой, с другой — курс математического моделирования изначально читался авторами именно студентам, основной специализацией которых были именно науки о жизни.

Материал построен именно по принципу усложнения программной реализации описываемых моделей.

• [1] См.: Базыкин А. Д. Математическая теория взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985; Исследования по математической экологии: сб. ст. / под ред. Э. Э. Шноля. Пущино, 1996.
• [2] О некоторых из них можно прочитать в книге (предназначенной скорее для медикови биологов, чем для физиков и математиков): Глас Л., Мэки М. От часов к хаосу. М.: Мир, 1990.
• [3] О приложениях гиперболических уравнений к решению биомедицинских задач см. работу: Beklemysheva К. A, et al. Virtual blunt injury of human thorax: age-dependent responseof vascular system // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2015.Vol. 30. № 5. P. 259−268.
• [4] Turing A. M. The chemical basis for morphogenesis // Phys. Trans. Roy. Soc. B. London, 1952. Vol. 237. P. 37−72.
• [5] Колмогоров A. H., Петровский И. Г., Пискунов И. С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме//Бюллетень МГУ. Сер. А. 1937. Т. 1. № 6. С. 1−25.
• [6] Kholodov A. S., Lobanov А. /. Numerical experiment in medicine and ecology: an ellipticproblems // Phystech. J. 1994. Vol. 1. № 2. P. 3—11.
• [7] В качестве первоначального чтения про решения таких уравнений (в первую очередьаналитические методы) можно рекомендовать книги: Ньюэлл А. Солитоны в математикеи физике. М.: Мир, 1989; Додд Р. и др. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М. :Мир, 1988.
• [8] Для ознакомления с предметом можно рекомендовать очень интересную работу: Павловский Ю. Н., Белотелое Н. В., Бродский Ю. Н. Компьютерное моделирование. М.: Физмат-книга, 2015.