Простые состояния равновесия при п = 2

Пусть М (г/₁₀, у₂о) — особая точка динамической системы: /i =/2 = 0. Если.

то состояние равновесия называется простым.

Классификация простых состояний равновесия изучается в стандартных курсах дифференциальных уравнений^[1]. Метод исследования состоит в следующем: определяются характеристические числа матрицы Якоби системы (3.1) из уравнения.

Уравнение (3.9) называется характеристическим уравнением, а его корни Я) и Х₂ — характеристическими корнями точек равновесия системы (3.1). Линеаризуем систему (3.1) в окрестности особой точки. Обозначим.

все производные берутся в точке (г/₁₀; у₂о). Тогда система (3.1) примет вид.

где (р, — ряды по ?, Г|, содержащие члены не ниже второго порядка. Отбрасывая нелинейные члены в системе (3.10), получаем соответствующую ей линеаризованную систему.

Она неособыми преобразованиями приводится к каноническому виду (и, следовательно, система (3.10) приводится к такому же виду с точностью до нелинейных членов). Возможны следующие случаи:

• а) Х_{ и Х₂ — действительны и различны;
• б) Х_{ и Х₂ — действительные кратные, = Х₂,
• в) Х_{ и Х₂ — комплексно-сопряженные.

Каждому из этих случаев соответствует свой канонический вид:

а) система (3.11) приводится к виду.

б) в этом случае можно указать преобразования, приводящие систему (3.11) к виду.

• (в частных случаях возможно р = 0);
• в) если корни и Х₂ комплексно-сопряженные, то при действительных ?, г) получаются комплексно-сопряженные и и v. Вводя новые переменные щ, v_x так, что и = и_{ + щ₉ приводим систему (3.11) к виду

где, а = ReX_{, (3 = ImA^.

Очевидно, что характеристические корни особой точки (положения равновесия) не меняются при линейной замене координат, т. е. являются инвариантами линейного преобразования.

Напомним, что если.

(здесь, А — детерминант матрицы, а — след матрицы), то корни характеристического уравнения действительны и одного знака. В этом случае все траектории, попадающие в малую окрестность состояния равновесия системы (3.1), стремятся к точке М либо при t —" +°° (X < 0), либо при t —" -«> (X > 0). Состояние равновесия называется устойчивым узлом в первом случае или неустойчивым узлом во втором.

Пусть теперь а² — 4А > 0, но Д < 0. Корни Х_{ и Х₂ действительны и разных знаков. Получаем состояние равновесия, называемое седлом. Если особая точка системы на плоскости — седло, то имеются четыре выделенные траектории, в пределе при бесконечном времени стремящиеся к седлу. Две из них входят в седло (стремление к седловой особой точке при t —" «>), а две другие из него выходят (стремление к седловой особой точке при t —> -о°). Эти линии называются сепаратриссами седла.

Если, А > 0, а * 0 и а² — 4Д < 0, то корни комплексно-сопряженные, а = ReA,_t * 0. В этом случае все траектории, попадающие в достаточно малую окрестность положения равновесия М, стремятся к нему либо при t —> +° (а < 0, устойчивый фокус), либо при t —" -«> (а > 0, неустойчивый фокус).

• [1] См., например, работу: Петровский И. Г. Указ. соч.