Системы уравнений. 
Уравнения с параметрами

В процессе решения систем уравнений при некоторых значениях параметра могут возникать уравнения типа 0· x = 0, тогда система будет иметь бесконечно решений или же 0· x = a 0, тогда система вообще не будет иметь решений. Проследим за решением систем уравнений на примерах.

Пример № 16.ТипI. Решить при всех значениях параметра a.

Решение. Умножим первое уравнение на 2 и вычтем второе:

? 6y? ay = 9? (6?a)y = 9.

Мы получили линейное уравнение с параметром, которое мы умеем решать. 1) Пусть (6?a) = 0, тогда a = 6 и уравнение перепишется: 0· y = 9? нет решений.

Пусть (6?a) 0, тогда y = .

Найдем x, подставив y в первое уравнение системы:

2x + 3()= 5? 2x = 5? x =.

Ответ: при a = 6 решений нет; при a 6 x = y =.

Пример № 17.Тип III. Найти все значения a, при которых система.

имеет решения.

Решение: перепишем уравнение в виде:

или.

Решим первую систему, используя прием параллельного переноса параболы найдем точку касания прямой у=х-1 и параболы. Уравнение должно иметь решение. Значит, дискриминант должен быть неотрицательным, 4а-3,. Аналогично для прямой и параболы,.

Значит, .

Общие рекомендации по решению задач с параметрами Итак, чтобы успешно решить уравнение с параметром следует помнить о следующем:

Во-первых, найти область допустимых значений, при которых уравнение будет иметь смысл. Во-вторых, при решении уравнений с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения, нужно совершить ряд элементарных преобразований и привести заданное уравнение к более простому виду, если это возможно:

• -рациональное выражение следует разложить на множители;
• -тригонометрический многочлен по формулам разложить на множители;
• — с учетом найденной ОДЗ избавиться от модулей, логарифмов и т. д.
• — ввести новые переменные, разбить объемное уравнение на несколько простых.

Затем необходимо несколько раз внимательно прочитать задание, определить тип (что не позволит вам запутаться при выборе ответа) и вид (это поможет учесть главные нюансы при решении), затем выбрать наиболее подходящий метод решения уравнения. В случае, когда спрашиваются конкретные виды решений, необходимо вспомнить и попытаться применить специальные свойства входящих в уравнение функций (например, четность/нечетность, периодичность тригонометрических, и т. п.), которые позволят судить о существовании некоторого специального множества решений.

Построение эскизов графиков уравнений иногда значительно облегчает нахождение искомых решений. Существует ряд задач, в которых просто необходимо нарисовать эскиз графика функции. Чаще всего достаточно рассмотрение графика в обычной декартовой плоскости (х;у), а иногда лучше рассмотреть графики в несколько иной плоскости (x;a), где x — независимая переменная, а a — параметр. Это очень удобно в задачах, где приходится строить знакомые графики: прямые, параболы, окружности, простейшие логарифмические, показательные функции и т. д. Многие уравнения предполагают решение как и графичеким, так и аналитическим методом. Бывает, что задача решается без всяких графиков, но более громоздко. Кроме того, эскизы графиков при аналитическом путе решения здорово помогают наглядно увидеть и «ход» решения.

При решении рациональных уравнений f (x;a) = 0 надо помнить, что для разных степеней многочлена f (x;a) методы решений разные. Поэтому в первую очередь рассматривают решение при тех значениях параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при старшей степени x многочлена f (x;a), понижая тем самым степень многочлена. Например, квадратное уравнение A (a)x2+B (a)x+C (a) = 0 при A (a) = 0 превращается в линейное, если при этом B (a) 0, а методы решения линейных и квадратных уравнений различны, и т. д.