Π€Π΅Π΄Π΅ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π°Π³Π΅Π½ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΠΎΡΡΠ΄Π°ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
" ΠΠΠΠΠΠΠΠ Π‘ΠΠΠ ΠΠΠ‘Π£ΠΠΠ Π‘Π’ΠΠΠΠΠ«Π Π£ΠΠΠΠΠ Π‘ΠΠ’ΠΠ’"
ΠΠ°ΡΠ΅Π΄ΡΠ°: Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π‘Π°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΠ»Π°Π΄ΠΈΠΌΠΈΡ 2009
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 1. ΠΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π° = { 2; -1; 6 } Π² = { -1; 3; 8 }
c1=5a — 2b = {5*2 — 2*(-1); 5*(-1) — 2*3; 5*6−2*8 } = {12; -11; 14 }
Ρ2=2Π° — 5 Π = {2*2 — 5*(-1); 2*(-1) — 5*3; 2*6−5*8 } = {9; -17; -28 }
? ?;
12/9? 11/17? -14/28
ΠΡΠ²Π΅Ρ: Π½Π΅ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 2. ΠΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΠ ΠΈ ΠΠ‘, Π (3; 3; -1) B (5; 1; -2) C (4; 1; -3)
= {2; -2; -1 } || = =
= {1; -2; -2 } || = =
cos (€) = =
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 3. ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ
, Π° ΠΈ Π².
Π°=5p-q b=p+q |p|=5 |q|=3 (p€q) = 5
S=|5p — q|*|p + q|=|5p*p + 5p*q — q*p — q*q|=|5p*q + p*q| =6*|p*q|=6|p|*|q|*sin (p€q)=
=6*5*3*sin5
sin5= 90*=45
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 4. ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π°, Π², Ρ.
Π° = { 1; -1; 4 } Π² = { 1; 0; 3 } Ρ = { 1; -3; 8 }
1*(0*8 — 3*(-3)) — (-1)*(1*8 — 1*3)+4(1*(-3) — 1*0)=9 + 5 — 12=2
2?0 — Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 5. ΠΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠ΄ΡΠ° Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ
Π1 Π2 Π3 Π4 ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²ΡΡΠΎΡΡ, ΠΎΠΏΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΈΠ· Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ Π4Π½Π° Π³ΡΠ°Π½Ρ Π1 Π2 Π3.
Π1 = { 0; -3; 1 } Π2 = { -4; 1; 2 } Π3 = { 2; -1; 5 } Π4 = { 3; 1; -4 }
= { -4; 4; 1 }
= { 2; 2; 4 }
= { 3; 4; -5 }
= * |(-4)*(2*(-5) — 4*4) — 4*(2*(-5) — 3*4) + 1*(2*4 — 3*2)=
=|40 + 64 + 40 + 48 + 8 — 6|=194=32,33
= |i*(4*4 — 1*2) — j*((-4)*4 — 2*1)+k*((-4)*2 — 2*4)= |14i + 18j — 16k|=
=v142+182-162=v264=*16,25=8,125
h==11,94
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 6. Π Π°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π0 Π΄ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΡ
ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ
.
Π1 (1; 2; 0) Π2 (3; 0; -3) Π3 (5; 2; 6) Π0 (-13; -8; 16)
(Ρ
-1) * ((-2)*6 — 0*(-3)) — (Ρ-2)*(2*6 — 4*(-3)) + (z — 0)*(2*0 — 4*(-2))=0
(-12)*(Ρ
— 1) — 24*(Ρ — 2) + 8*(z — 0) = 0
(-3)*(Ρ
— 1) — 6*(Ρ — 2) + 2*(z — 0)=0
— 3Ρ
— 6Ρ + 2Z + 15 = 0
d==
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 7. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΡ
ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ, Π ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ .
Π (-3; -1; 7) B (0; 2; -6) C (2; 3; -5)
={2; 1; 1}
2*(Ρ
+ 3) + 1*(Ρ + 1) + 1*(z — 7)=0
2Ρ
+ Ρ + z = 0
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 8. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΠΌΠΈ
2Ρ + z — 9=0
Ρ
— Ρ + 2z — 1=0
ΠΏ1={0; 2; 1 }
ΠΏ2={1; -1; 2 }
cosΡ===90
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 9. ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π ΠΈ Π‘.
Π (Ρ
; 0; 0) B (4; 5; -2) C (2; 3; 4)
ΠΠ===
ΠΠ‘===
=
=Ρ
2 — 4Ρ
+29
Ρ
2 — Ρ
2 — 8Ρ
+ 4Ρ
=29 — 45
— 4Ρ
=-16
Ρ
=4
Π (4; 0; 0)
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 10. ΠΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Ρ
— 3Ρ + z + 2 = 0
Ρ
+ 3Ρ + 2z + 14 = 0
= i*((-3)*2 — 3*1)-j*(1*2 — 1*1)+k*(1*3 — 1*(-3) = -9ij + 6k=
= { -9; -1; 6}
(-8; 0; 0) = =
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 11. Π’ΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ
= =
3Ρ
— 2Ρ + 5z — 3 = 0
= = = t
3*(1 + 6t) — 2*(3 + t) + 5*((-5) + 3t) — 3 = 0
3 + 18t — 6 — 2t — 25 + 15t — 3 = 0
31t — 31 = 0
31t = 31
t = 1
Ρ
= 1 + 6*1 Ρ = 3 + 1 z = (-5) + 3*1
Ρ
= 7 Ρ = 4 z = -2
(7; 4; -2)