Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива

Исходные данные к курсовому проекту

Рассматривается последний этап посадки космического аппарата (КА) на планету. При построении математической модели предположим:

посадка осуществляется по нормали к поверхности планеты, планета неподвижна и в районе посадки плоская;

на КА действуют сила тяжести G=mg, причем g=const и сила тяги, где с=const, а в — секундный расход массы m, ;

аэродинамические силы отсутствуют.

Уравнения движения КА могут быть представлены в виде:

;; , где h — текущая высота;

или в нормальной форме:

;;; .

Здесь введены обозначения:

;; ;; .

Граничные условия имеют вид:

;; ;; ,

причем Т заранее неизвестно. Требуется найти программу управления u*(t), обеспечивающую мягкую посадку при минимальном расходе топлива, то есть .

Исходные данные для расчетов

Ускорение силы тяжести для планеты g=1,62 м/с², величина с=3000 м/с.

Задание к курсовому проекту

Составить гамильтониан Н, воспользовавшись необходимыми условиями оптимальности для задачи Майера.

Из условия максимизации Н по u найти оптимальное управление.

Получить каноническую систему уравнений и в результате прийти к краевой задаче, для которой в момент t=0 заданы компоненты x₀, x₁, x₂, а в момент t=T_компоненты x₁, x₂, ш₀.

Из условия Н (Т)=0 получить соотношение для определения неизвестного времени Т.

Произвести анализ необходимых условий оптимальности, начав с исследования возможности существования особого вырожденного управления, то есть случая, когда функция переключения

.

Доказать, что К_u не может обратиться в нуль на конечном интервале времени и, следовательно, особого управления в данной задаче не существует.

Показать, что К_u есть монотонная функция t.

Рассмотреть четыре возможных случая:

а) K_u>0 для всех ;

б) K_u<0 для всех ;

в) K_u>0 для, K_u<0 для ;

г) K_u<0 для, K_u>0 для .

Показать, в каких случаях (из физических соображений) мягкая посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расход топлива меньше.

Получить программу оптимального управления, когда до некоторого момента t₁ управление отсутствует u*=0, а начиная с t=t₁, управление равно своему максимальному значению u*=u_max, что соответствует минимальному расходу топлива.

Решить каноническую систему уравнений, рассматривая ее для случаев, когда и управление u*=0, и когда, u*=u_max.

Приравнивая х₁(Т) и х₂(Т) нулю, получить два уравнения относительно t₁ и Т. Таким образом, краевую задачу свести к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t₁, Т. Составить программу расчета. Получив решение этой системы, решить полностью исходную задачу программирования оптимального управления мягкой посадкой КА на планету. В заключение следует построить фазовую траекторию спуска КА и определить конечную массу m (Т).

Выполнение задания курсового проекта

Нам известно, что

где с — сила тяги двигателя,

m — масса космического аппарата;

— ускорение аппарата.

То есть, масса? ускорение = сумме сил, действующих на аппарат.

в — секундный расход массы m: .

Расход массы обеспечивает силу тяги двигателя (P=c?в), ее можно менять в пределах .

можно найти из исходных данных — выразив из отношения силы тяги к начальной массе P_max/m (0):

;

;

кг/с.

Наш критерий оптимизации. Введем принятые в исходных данных обозначения:

; .

Начальный момент времени t=0, конечный момент времени — момент посадки КА (момент столкновения с планетой) t=T.

;

Тогда критерий оптимизации:

;

. (Здесь .)

Теперь необходимо написать уравнение состояния системы. Для этого нужно ввести переменные состояния и входную переменную.

Порядок дифференциального уравнения n=3, отсюда 3 уравнения состояния:

;

;

.

Выберем управление:

;

Подставляем уравнения состояния, получим:

так как и, отсюда

;

;

.

Критерий оптимизации:

.

Введем переменные х₀ и х_n+1 (то есть х₄).

где t — текущее время.

.

Тогда основные уравнения состояния:

Составим гамильтониан Н:

;

.

Оптимальному управлению соответствует максимум функции Гамильтона в заданной области возможных управлений. Причем этот максимум равен нулю.

То есть нужно добиться максимума этой функции, меняя u₁. Это и будет оптимальное управление.

Для функций ш_i тоже получим сопряженные уравнения, которые имеют вид :

— так как функция не зависит от х₀,

следовательно производная равна нулю;

— аналогично, так как функция не зависит от х₁.

Итак, нужно найти максимум гамильтониана:

Функция переключения:

Используя для вычислений Mathcad, получим оптимальное управление:

Таким образом оказалось, что оптимальное управление должно осуществляться на предельных ресурсах. То есть либо двигатель должен быть совсем выключен (при K_u<0), либо включен на максимальную мощность (при K_u>0).

Посмотрим, как меняется функция переключения К_u во времени:

;

Для определения ш₁ и ш₂ решаем сопряженные уравнения:

следовательно, ш₁ = const, обозначим ш₁=с₁.

следовательно,, где c₂ = const.

Итак, Масса КА всегда положительна, а с=3000 = const — величина постоянная, поэтому производная имеет всегда постоянный (один и тот же) знак. То есть величина K_u либо всё время монотонно возрастает, либо всё время монотонно убывает. А это означает, что она может пройти через ноль только один раз.

Рассмотрим четыре возможных случая:

а) K_u>0 для всех ;

б) K_u<0 для всех ;

в) K_u>0 для, K_u<0 для ;

г) K_u<0 для, K_u>0 для .

В случаях б) (когда двигатель КА выключен на всем протяжении посадки) и в) (когда двигатель включен на максимальную мощность до какого-то момента времени t=t*, а затем полет происходит с выключенным двигателем до самой посадки) — говорить о мягкой посадке не приходится. Эти варианты означают падение КА на планету. Поэтому оптимальными (и вообще допустимыми) их считать нельзя.

Следовательно, остаются два реализуемых варианта — а) и г). И оптимальное управление предполагает либо всё время включенный на максимальную мощность двигатель, либо полет с выключенным двигателем до какого-то момента t=t*, а затем полет с двигателем, включенным на максимальную мощность до момента посадки. Естественно, что во втором случае (г) расход топлива меньше, так как часть пути проделывается с выключенным двигателем.

Поэтому оптимальным управлением в данной ситуации можно считать полет с выключенным двигателем, затем происходит включение двигателя и полет продолжается с двигателем, включенным на максимальную мощность.

Итак, оптимальному управлению соответствует На первом участке полета, на котором u₁=0:

;; ;

;

;

.

Рассмотрим второй участок полета u₁=7,083:

Зададимся условием, что при t=t* (в момент включения двигателя):

;

;

.

На отрезке полета со включенным двигателем:

;

так как, запишем:

.

Теперь, зная х₃, можно выразить х₂:

.

Теперь, зная х₂ выразим х₁:

;

На отрезке пути h (t):

В момент посадки t=T высота и скорость должны быть равны нулю, то есть и. На основании этого утверждения приравняем х₁(T) и х₂(Т) нулю и получим таким образом два уравнения относительно t* и T. Таким образом, краевая задача у нас свелась к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t* и Т:

Из второго уравнения системы выразим момент времени, на котором включается двигатель:

;

Подставим это выражение в первое уравнение системы, получим уравнение для нахождения времени полета T (оно же время посадки):

Для расчета времени полета Т воспользуемся программой Mathcad. На следующем листе приведены эти вычисления Все дальнейшие вычисления также производились в программе Mathcad:

Теперь, зная Т и t*, можно определить конечную массу космического аппарата m (T):

кг.

Можно рассчитать высоту h (t*), на которой КА должен включить двигатели:

м.

Таким образом, включение двигателей происходит на 3317-ой секунде полета на высоте около 67 км. от поверхности планеты. Тот же результат мы наблюдаем и на графике.