Исследование и решение дифференциальных уравнений механики сплошных сред аналитическими и численными методами

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию дифференциальных уравнений механики сплошных сред аналитическими и численными методами.

Актуальность. До сегодняшнего времени все основные математические модели, описывающие механические процессы написаны на языке дифференциальных уравнений. Выведенные более сотни лет назад дифференциальные уравнения пластичности до сих пор не достаточно исследованы, хотя они описывают важнейшие технологические процессы: штамповку, прокат металла, ковку и т. п. Теория пластичности, которой посвящена большая часть этой работы, не исключение. Групповой анализ дифференциальных уравнений широко применяется в исследовании систем уравнений в частных производных. Исследованию систем дифференциальных уравнений теории идеальной пластичности для плоского случая групповыми методами посвящены работы БД. Аннина [2, 71, 72], С. И. Сенашова [22, 52−58], А. Н. Яхно [22], П. П. Кирякова [22], основанные на фундаментальных работах JI.B. Овсянникова [40−42], A.M. Виноградова [8,79] и др.

Точные решения изотропной и анизотропной теории пластичности построены в работах Р. Хилла [65, 75], В. Прагера [47], JI. Прандтля, Д. Д. Ивлева [17, 18], А. Ю. Ипшинского [18, 19], Б. Д. Аннина, JI. А. Толоконникова [36], Н. М. Матченко [36], С. И. Сенашова и некоторых других.

Но любой новый результат, полученный для этих уравнений, по-новому позволяет взглянуть на оценку прочности конструкций, понять природу пластичности, улучшить технологические процессы. Все это характеризует актуальность работы.

Цель работы. Аналитическое исследование и численное решение систем дифференциальных уравнений механики сплошных сред.

Методика исследования. В работе применяются методы группового анализа дифференциальных уравнений, а также методы численного анализа. Для численной реализации методов использованы пакеты прикладных программ Maple и Mathcad.

Научная новизна.

1. Найдена группа Ли-Беклунда и законы сохранения для системы дифференциальных уравнений теории анизотропной пластичности при условии предельного сопротивления отрыву;

2. Найдена группа непрерывных преобразований и построены новые точные решения системы дифференциальных уравнений сжимаемой пластической среды;

3. Найдена группа непрерывных преобразований, допускаемых системой дифференциальных уравнений анизотропной теории пластичности;

4. С помощью группы преобразований из точного решения уравнений пластичности в анизотропном случае построены целые классы новых точных решений, описывающие сжатие пластического слоя жесткими плитами;

5. Численно решена начально — краевая задача для уравнения теплопроводности об определении теплового состояния стенок цилиндрической трубы при течении в ней высокотемпературного газа.

Теоретическое и практическое значение. В работе построены новые точные решения, которые могут найти применение, как в теоретических, так и практических исследованиях. Эти решения можно использовать как тестовые при численных расчетах и в экспериментальных работах для определения параметров анизотропии, применимости моделей и теоретических допущений. Апробация. Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: I Всесибирский конгресс женщин-математиков, Красноярск, 2000; VIII Всероссийской научной конференции с международным участием «Решетневские чтения», посвященной памяти академика М. Ф. Решетнева. Красноярск, 2004; Всероссийская конференции «Информационные технологии и математическое моделирование-2005" — X Международной научной конференции «Решетневские чтения», посвященной памяти академика М. Ф. Решетнева. Красноярск, 2006; II Всероссийская научно-практическая конференция творческой молодежи Красноярск, 2006; на семинарах Сибирского государственного аэрокосмического университета «Симметрии и законы сохранения дифференциальных: уравнений» под руководством проф. С. И. Сенашова.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы представлено в работах [25 — 32]. Из них 2 статьи [25, 26] опубликованы в научных изданиях из Перечня ВАК.

Краткое содержание работы.

Для удобства ссылок нумерация теорем, утверждений и формул здесь соответствует нумерации, приводимой в диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится аннотация диссертации, определяется цель проводимого исследования и структура работы.

В первой главе содержатся сведения (определения, теоремы, леммы, следствия и т. д.) необходимые для понимания дальнейшей работы. Даются определения группы и алгебры Ли, вводится понятие точечных и высших симметрий и способов их вычисления. Даются понятия о законах сохранения их свойствах и применении. Здесь же дается краткий обзор численных методов, применяемых для решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Во второй главе изучаются групповые свойства систем дифференциальных уравнений анизотропной теории пластичности.

В параграфе 2.1 найдена группа высших симметрий, допускаемая уравнениями идеально пластической среды при предельном сопротивлении отрыву, и законы сохранения. Найденная группа позволяет описать классы инвариантных решений пластической среды, построение которых сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В качестве закона текучести для анизотропных материалов выбирается предельное сопротивление отрыву. В этом случае основные уравнения для плоского напряженного состояния можно записать в виде: ох — 2к (е)(бх cos 20 + 0у sin 20) = 0,.

Gy-2k (e)(exsin2e-eycos2e)=o, ^ ^ где, а — гидростатическое давление- 0 — угол между осью Ох и первым главным направлением тензора напряженийвид функции к (0) устанавливается из опытов на принудительный сдвиг образцов пластической среды по различным направлениям, поэтому она считается фиксированной, но произвольнойиндекс внизу означает дифференцирование по соответствующей переменной.

После замены переменных и некоторых преобразований из системы (2.1.) получаем.

Эхи-<? u+fv=0, dxv-d v+fu=0,.

2.5) где и, V — новые искомые функциифункция f=f (y) полностью определяется видом функции к (э).

Далее вычисляем симметрии системы уравнений (2.5), которые потом преобразуем в симметрии системы уравнений (2.1). Имеет место теорема. Теорема 2.1. Классические симметрии системы уравнений (2.5) имеют вид: ф = А^д + А’и, +Ь'(х, у), у = А°ч + А + Ь2(х, у), где А0, А1 — постоянные, (ь1, Ь2) — произвольное решение исходной системы уравнений вида: ь^-ь'+а^о, Ь^-Ь^+Ш^О Базис классической алгебры Ли, допускаемой системой (2.5) выглядит так:

S,= i".

Уи.

9 So vvy н = vh у.

Таблица умножения имеет вид: s, s0} = 0, {s0,h} = -н, {s, h} =.

Эх v Эх j.

Находим высшие симметрии системы уравнений (2.5), в результате получаем теорему 2.2.

Теорема 2.2. Производящие функции симметрии второго порядка системы уравнений (2.5) имеют вид: ф =A2u2+Aiu] +A°u + h', j7-A2 v2 + A1 v, +А° v+ h2. где А1 — const- (h1, h2) — произвольное решение системы (2.5). Из теорем 2.1 и 2.2 следует Теорема 2.3. Алгебра высших симметрий системы уравнений (2.5) порождается элементами Sn, Н, при этом имеют место коммутационные соотношения.

Бп, Бщ} = О, {8П, Н} = ПП (Н), где 8П= Пп (8о) —? = чО.

— оператор рекурсии.

Теорема 2.4. Алгебра симметрий для системы уравнений (2.1) состоит из точечных симметрий, которые порождаются операторами х = эо, хн =(ь'со8б-ь28те)эх+(ь18те-ь2со8е)эуа также высших симметрий, которые имеют вид.

§"=?" § 0, О где П=Д к9у 0у) Ох +(кБхох)Бу.

О (ке-ау)Бх+(кех-ах)П.

5 уу хех + уе у У.

Для построения законов сохранения системы уравнений (2.5) следует решить систему уравнений.

1=0, где 1* = п. +ь&bdquoу У.

ГчП g = Ф, V.

Имеет место теорема 2.5. Теорема 2.5. Законы сохранения для системы уравнений (2.5) порождаются производящими функциями Т2п, Е.

Здесь Т2п=П2п (Т0) — Т0 = Л (л и ГП е=.

— v, У;

1 О (т, т) — произвольное решение системы уравнений т’х + ту-f т2 =0, т2 -т2-f т1 =0.

Производящей функции (ср,|/) отвечает сохраняющийся ток (-фи+(/V, фи+(/у). В интегральной форме закон сохранения имеет вид.

— ф и+|/у)с1у+(фи+|/у)<�Зх = 0, г для всякого замкнутого контура Г в плоскости переменных (х, у).

На основании вышеприведенного имеет место теорема 2.6. Теорема 2.6. Класс производящих функций, порождающих законы сохранения системы уравнений (2.1), образуется как векторное пространство элементами К2ш ^ где v езт 9 сое 9, соэ 0 эт 0 У д.

При этом закон сохранения в исходной системе координат в интегральной форме запишется так.

— фа+|/^(ах-к (0)0х)+(фа+^(ах+к (0)0х)] ёх+[(-чра+^(аук (0)9у)+(фа+^(оу+к (0)0у)] ёу=0, где Г — замкнутый контур в области изменения переменных (х, у) — а, 0 -произвольное решение системы уравнений (2.1).

В параграфе 2.2 решена задача групповой классификации для системы уравнений описывающих плоское течение сжимаемой пластической среды, построены новые инвариантные решения.

Рассмотрим систему уравнений, которая получена из системы уравнений пластичности для плоского случая: где и, V — компоненты вектора скорости- 0- угол между первым главным направлением тензора напряжений и осью ОХр — давлениер — плотностьА (р) -функция состояния, вид которой заранее не определен и подлежит определению в процессе решения задачи групповой классификациик — предел текучести при чистом сдвиге.

Имеют место теоремы 2.7 и 2.8. Теорема 2.7. Если А (р) — произвольная функция, то система (2.35) допускает основную группу во, которая порождается следующими операторами г.

Эи Эи Эи и-+ V— = о1 Эх Эу.

2.35).

2.36) э э э э э л ¦ э э э э.

Z3 =х-—у—- + U-—V— + —, Yi =t—+—, Y2 = t—+— Эу Эх Эу Эи Э9 Эх Эи Эу Эу.

Теорема 2.8. Система уравнений (2.35) допускает группу более широкую, чем G0 в следующих случаях:

1) если, А = Сеар, то дополнительный оператор имеет вид: S = —;

Эр

2) если, А = const, то получим уравнения, описывающие течение несжимаемого пластического материала.

В этом случае группа, допускаемая системой известна. Дополнительные операторы имеют вид: y, =gl (t)f+g-(t)f-xgr.wf, y2=g2(t)f+g-2(t)f-ygr1(t) f, s=9(t)f.

Эх Эи Эр Эу Э V Эр Эр

Здесь gj (t), g2(t), (p (t) — произвольные функции из класса Сга .

Для алгебры Ли (2.36) построена оптимальная система одномерных и двумерных подалгебр, которая позволяют строить инвариантные и частично инвариантные решения этой системы.

В частности можно найти инвариантное решение в виде:

После подстановки его в исходную систему задача сводится к квадратурам. Построенное решение является автомодельным и описывает одномерное нестационарное течение сжимаемого пластического вещества.

В параграфе 2.3 изучаются уравнения двумерной теории идеальной анизотропной пластичности, описывающие стационарное напряженное состояние. Для исследуемых уравнений найдена группа точечных симметрий и на ее основе построены новые точные решения. Эти решения можно использовать для описания пластического состояния материала сжимаемого жесткими плитами.

Рассматривается система уравнений анизотропной идеальной пластичности в плоском случае следующего вида: сх — 2(0Х cos 20 + р0у sin 26) = 0,.

2.51) оу-2(рех sin20−0y cos 20) = 0, где сх, оу — гидростатическое давление- 0 — угол между первым главным направлением тензора напряжений и осью ОХ- (3- параметр, характеризующие состояние анизотропиииндекс внизу обозначает производную по соответствующей переменной.

Найдены характеристики и соотношение на них.

Имеет место теорема 2.9. Теорема 2.9. Группа непрерывных преобразований системы уравнений (2.51), порождается следующими операторами:

X, = хдх + уду, Х2 =<Э0, Х+=^(а, е) ах+л (а, 6) бу, (2.54) где (£, г|) есть произвольное решение системы уравнений e-2(^acos2e-PTiosin20) = O,.

2.55) т|е — 2(Р⁰ sin 20 + т) а cos 20) = 0.

Найдено решение на подалгебре дх+Ъда является аналогом известного решения Прандтля для изотропной среды. Его следует искать в виде o = bx+f (y), в = в (у), где b — некоторая постоянная.

Подставляя эти соотношения в (2.51) без труда получаем.

1 by by.

0 = —arceos—, cos 20 = —-, a = bx — sin 20. (0 56).

2 p p У }.

Теперь с помощью (2.52) находим дифференциальные уравнения линий скольжения.

2(3 — cos 20 ± л/cos2 26 +В2 sin2 26.

6 sin 26 =-b х psm20.

ИЛИ f 2 В sin2 20 d0 — I—-. ===: х + С,.

J b cos 20 ± -Jcos2 20 + p2 sin2 20 y (2.57) у =—cos 20. b.

Приведены новые решения уравнения (2.51), построенные на основе решения (2.56). Эти новые решения строятся преобразованием симметрии, которые порождаются оператором Х+ и действуют на решение (2.56).

Найдены решения системы линейных дифференциальных уравнений (2.55) и на их основе построены новые точные решения системы дифференциальных уравнений (2.51).

Новые построенные решения можно использовать для анализа пластических течений слоя средней толщины, сжимаемого жесткими и шероховатыми плитами, а не только тонкого слоя, для которого пригодно решение, построенное Прандтлем.

В третьей главе рассмотрена задача об определении теплового состояния стенки цилиндрической трубы при течении в ней высокотемпературного газа. Основная цель главы состоит в исследовании численным методом влияния высокотемпературного газового потока на теплозащитное покрытие внутренней стенки цилиндрической трубы на основе математической модели, описанной дифференциальными уравнениями в частных производных, а также ее численной реализации. Метод конечных разностей (метод сеток) [5, 20, 35, 49, 50] один из самых эффективных численных методов и в связи с этим, один из наиболее широко применяемых методов решения начальных или начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных.

В параграфе 3.1. определяется математическая постановка задачи.

Стенка трубы в поперечном сечении состоит из к плотно контактирующих слоев металла и теплозащитного покрытия (ТЗП). Под воздействием высокотемпературного газового потока ТЗП начинает разрушаться и при этом выделяются газообразные продукты пиролиза с образованием слоя обугленного материала, уносимом вместе с потоком. Необходимо отметить, что, полученное дифференциальное уравнение в частных производных (начально-краевая задача) является математической моделью теплового состояния стенки цилиндрической трубы при течении в ней высокотемпературного газа. Эта сложная математическая модель достаточна полно и точно отражает свойства реальной системы. Но из-за сложности полученной начально — краевой задачи общее аналитическое решение уравнения получить не удается и приходится его решать с помощью численных методов.

В параграфе 3.2. описывается численный алгоритм для решения поставленной задачи. Для решения задачи использован метод конечных разностей или метод сеток. Построена разностная сетка с шагом т по временной координате и шагами (? = 3, к) по координате г, т. е. сетка по пространственной координате будет неравномерной в том смысле, что на каждом участке сетка имеет свой шаг. На первом участке ТЗП Ь0=Ь1=Ь2, так как явно зоны с остатками горения и разрушения ТЗП не выделяются. Далее, на участке ТЗП в целом шаги сетки по г на каждом временном шаге будут свои, так как левая расчетная граница области является подвижной.

К полученному дифференциальному уравнению применили неявную разностную схему, имеющую второй порядок аппроксимации по обеим независимым переменным. Полученная система уравнений решается методом прогонки.

В параграфе 3.3. приведены результаты расчетов по описанному алгоритму в параграфе 3.2. Расчеты проведены применительно к трубам, стенки которых состоят: а) только из ТЗП, б) из ТЗП и плотно контактирующего к ТЗП металла, в) из ТЗП, металла и ТЗП.

Все расчеты были выполнены при условии полного выгорания внутреннего ТЗП. Из расчетов следует, что проникновение тепла наиболее быстро происходит в случае, когда стенки состоят из ТЗП, металла и ТЗП (случай «в»). При наличии металлической оболочки газообразные продукты пиролиза не выходят за пределы ТЗП и свою очередь способствуют дальнейшему повышению температуры. Процесс выгорания ТЗП еще более ускоряется, если стенка имеет внешнее теплозащитное покрытие.

Заключение

содержит выводы и основные результаты работы.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Найдена группа Ли-Беклунда и законы сохранения для системы дифференциальных уравнений теории анизотропной пластичности при условии предельного сопротивления отрыву;

2. Найдена группа непрерывных преобразований и построены новые точные решения системы дифференциальных уравнений сжимаемой пластической среды;

3. Найдена группа непрерывных преобразований, допускаемых системой дифференциальных уравнений анизотропной теории пластичности;

4. С помощью группы преобразований из точного решения уравнений пластичности в анизотропном случае построены целые классы новых точных решений, описывающие сжатие пластического слоя жесткими плитами;

5. Численно решена начально — краевая задача для уравнения теплопроводности об определении теплового состояния стенок цилиндрической трубы при течении в ней высокотемпературного газа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.