Действия с матрицами

Реферат

Матрицы

1. МАТРИЦЫ

1.1 История. Понятие матрицы. Типы матриц

1.2 Действия над матрицами

2. КВАДРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

3.1 Понятие обратной матрицы. Единственность обратной матрицы

3.2 Алгоритм построения обратной матрицы. Свойства обратной матрицы ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Матрица под названием «волшебный квадрат» упоминалась еще в Древнем Китае. Подобные квадраты чуть позже были известны и у арабских математиков.

Впервые матрица как математическое понятие появилось в работах У. Гамильтона, А. Кэлли и Дж. Сильвестра в середине века. Основы теории матриц созданы К. Вейерштрассом и Г. Фробениусом во 2-ой половине века и начале века. Современное обозначение — две вертикальные черточки — ввёл А. Кэли (1841 г.)

В настоящей работе дадим определение матрицы и видов матриц, познакомимся с алгеброй матриц и определим их основные свойства.

1. МАТРИЦЫ

1.1 Понятие матрицы. Типы матриц

Матрица (от латинского matrix — матка, начало, источник) — прямоугольная таблица, образованная из элементов некоторого множества и состоящая из строк и столбцов:

или

Такая матрица называется прямоугольной матрицей размера или с элементами (элемент расположен в i-й строке и в j-м столбце). При матрицу называют квадратной, а число n — ее порядком.

Матрицы и считаются равными, если они одинакового размра (число строк и число столбцов матрицы A соответственно равны числам строк и числам столбцов матрицы B) и элементы, стоящие ви на одинаковых местах, равны между собой: Сокращенно матрица обозначается (). Квадратная матрица в сокращенной записи иногда обозначается Элементы образуют главную диагональ, а элементы дают побочную диагональ.

Матрица, состоящая из одной строки, называется строкой (или вектор-строкой), а состоящая из одного столбца- столбцом (или вектор-столбцом).

Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной матрицей по отношению к A и обоначается (иногда).

Наиболее часто рассматриваются матрицы, элементами которых являются числа — действительные или комплексные или элементы некоторого поля K. Соответственно матрицы называются действительными, комплексными или матрицами над полем K. Если, А — комплексная матрица, то матрица, получающаяся из, А заменой ее элементов комплексно сопряженными, называется комплексно сопряженной с A и обозначается. Если же элементы транспонированной матрицы заменяют на комплексно сопряженные им числа, то получают матрицу, которая назвается сопряженной или эмиртово-сопряженной с A: .

1.2 Действия над матрицами

Рассмотрим действия над матрицами, имея в виду, что все матрицы рассматриваются над одним полем K.

Важнейшими операциями над матрицами являются сложение матриц, умножение матриц на число (элемент поля K), умножение матриц.

Суммой A+В двух прямоугольных матриц A и B одного размера называется матрица размера которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых .

Произведением матрицы A на число называют матрицу, эле evменты которой получаются из элементов матрицы A умножением на

. Эти операции обладают следующими свойствами:

.

Умножение определяется только для такой пары матрицы, у которой число столбцов первого сомножителя рачно числу строк второго сомножителя. Произведение AB матрицы размера на матрицу размера есть - матрица, элемент которой, стоящий в i-той строке и k-том столбце, есть сумма произведений элементов i-той строки матрицы A k-того столбца матрицы B (правило умножение строки на столбец):

.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

.

Справедливы также правила

,

Произведения AB и ВА одновременно определены только для квадратных матриц одного порядка, причем произведение зависит от пордка сомножетелей, т. е. равенство AB=BA может не выполняться:

Например,

Если АВ=ВА , то матрицы А и B называют перестановочными (коммутирующими).

Приведем примеры действий над матрицами:

Пример 1.

Пусть матрица, А =, тогда 5А==.

Пример 2. Найти сумму и разность матриц, А и В.

=, = ,

тогда =+==,

=-==.

Пример 3. Найти произведение матриц, А и В.

=, =,

•===.

Пример 4.

=, =.

Решение

1). матрица, А имеет порядок 23, а матрица В — порядок 31, значит суммы и разности матриц не существует;

2). как матрицы, А и В согласованны, поэтому произведение АМВ существует:

?=?==,

Матрицы и несогласованны, поэтому произведения матриц ВМА не существует Пример 5.

=, =.

Решение

1). +===,

2). -= ==;

3). так как матрицы согласованы, произведение матриц АМВ и ВМА, существует:

?==?==;

?==?==

= ?, значит, матрицы, А и В некоммутирующие.

Пример 6.

=, =.

Решение

1) +===,

2) -===;

3) матрицы согласованы, значит, произведение матриц АМВ и ВМА, существует:

?==?==;

?==?==

= = АМВ=ВМА, т. е. данные матрицы коммутирующие.

2. КВАДРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

Элементы квадратной матрицы называются диагональными; эти элементы расположены на главной диагонали марицы. Квадратная матрица, у которо все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны 0, т. е. матрица вида называется диагональной и обозначается. Если в диагональной матрице все элементы, то матрица называется единичной и обозначается E или I (соответственно):

Для любой матрицы A размера справедливы равенства

Каждой квадратной матрице можно поствить в соответствиечисло (элемент поля K), называемое ее определителем или детерминантом.

Определителем второго порядка матрицы называется число, определяемое по правилу:

== -, (1)

т. е. определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Пример 7.

Необходимо помнить, круглые или квадратные скобки используют для обозначеня матриц, а вертикальные линии используются для обозначения определителя. Матрица это таблица чисел, а определитель это число.

Рассмотрим определитель третьего порядка: определителем третьего порядка квадратной матрицы называется число Д == det A= =

=+± - -, (2)

т. е. каждое слагаемое в формуле есть произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. удобно использовать правило треугольников (правило Саррюса):

Пример 8. Найти определитель

==

==

=.

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю; в противном случае матрицу называют вырожденной. Для любой невырожденной матрицы A существует единственная обратная матрица определяемая равенством Обратная матрица перестановочна с исходной: Верна формула .

3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

3.1 Понятие обратной матрицы. Единственность обратной матрицы

Наряду с числом в теории чисел определяют число, противоположное ему такое, что, и число, обратное ему такое, что. Например, для числа 7 противоположным будет число

(- 7), а обратным является число. По аналогии в теории матриц введено понятие противоположной матрицы, ее обозначение Обратной матрицей для квадратной матрицы порядка называется матрица, если выполняются равенства

(1)

где — единичная матрица порядка .

Как отмечалось выше, обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц. Невырожденная матрица, А имеет единственную обратную матрицу. Докажем это утверждение.

Пусть для матрицы существует две обратные матрицы, ,

то есть

и .

Тогда =М=М () =

= (М) ===.

Что и требовалось доказать.

Вычислим определитель обратной матрицы. Так как определитель произведения двух матриц и одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц, т. е., значит, произведение двух невырожденных матриц есть невырожденная матрица.

Исходя из этого можем сделать вывод, что определитель обратной матрицы есть число, обратное определителю исходной матрицы.

3.2 Алгоритм построения обратной матрицы свойства обратной матрицы

Докажем, что, если матрица, А невырожденная, то для нее существует обратная матрица, и построим ее.

Пусть

А=, .

Введем матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы :

.

Транспонируя ее, получаем присоединенную матрицу:

.

Найдем произведение М, применяя теоремy Лапласа и теоремe аннулирования:

М = =

= .

Делаем вывод:

. (2)

Составим алгоритм построения обратной матрицы.

1). Найти определитель матрицы. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует.

2). Если определитель матрицы не равен нулю, необходимо составить из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы матрицу .

3). Транспонировать матрицу и получить присоединенную матрицу .

4). По формуле (2) составить обратную матрицу .

5). По формуле (1) проверить вычисления.

Пример 9. Найти обратную матрицу.

а). Пусть А=. Определитель матрицы равен нулю, поскольку матрица имеет две одинаковые строки. Значит, матрица вырожденная, и для нее не существует обратной матрицы.

б). Пусть =.

Определитель матрицы

значит, обратная матрица существует.

Составим матрицу из алгебраических дополнений

= = ;

транспонируя матрицу, получим присоединенную матрицу

;

по формуле (2) найдем обратную матрицу

==.

Проверим вычисления

=

= .

Значит, обратная матрица построена верна.

Отметим свойства обратной матрицы.

1. ;

2. ;

3. .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

матрица определитель саррюс Матричный язык, обозначения и матричные вычисления широко используются в различных областях современной математики и ее приложений. Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры и применяются при исследовании линейных отображений векторных пространств, линейных и квадратичных форм, систем линейных уравнений.

Матрицы используются в математическом анализе при интегрировании систем дифференциальных уравнений, в механике и теоретической электротехнике при исследовании малых колебаний механических и электрических систем, в теории вероятностей, в квантовой механике и др.

В реферате были рассмотрены основные виды матриц, их свойства, действия над матрицами, приведены примеры.

1. Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. Высшая математика. — Мн.: Выш. шк., 1992. 384 с.

2. А. А. Гусак. Справочное пособие к решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. — Мн.: Тетрасистемс, 1998. 288 с.

3. Л. Н. Марков, Г. П. Размыслович. Высшая математика. Часть 1. -Мн.: Амалфея, 1999. — 208 с.

4. С. И. Адян, И. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. Математический энциклопедический словарь.- Москва «Советская энциклопедия», 1988.-846 с.