Идеи построения сеточно-характеристических методов и анализ разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов

Пространства неопределенных коэффициентов для описания разностных схем в рассмотрение ввел А. С. Холодов^[1].

Идея построения метода. Продемонстрируем основные идеи построения сеточно-характеристических методов на примере простейшего линейного уравнения переноса.

с соответствующими начальными и граничными условиями.

Известно, что уравнение (10.15) имеет характеристику и вдоль нее превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение.

На сведении уравнения в частных производных к ОДУ построены так называемые методы характеристик.

Методы сеток основаны на введении в области интегрирования уравнения разностной сетки, сеточного шаблона, т. е. совокупности узлов сетки, используемых для замены дифференциального уравнения (в малой области) разностным аналогом (аппроксимацией). При анализе аппроксимации обычно используются разложения в ряд Тейлора проекции на сетку точного решения дифференциальной задачи. Рассмотрим класс методов, в которых одновременно использованы и сеточный, и характеристический подходы.

В области интегрирования введем равномерную разностную сетку

Значение решения уравнения (10.15) в узлах сетки обозначим через м". Для перехода на следующий временной шаг сетки будем использовать явный пятиточечный шаблон (рис. 10.2). Нам необходимо вычислить значение w" ⁺¹, используя значения и на п-м слое по времени. Проведем из точки (п + 1; т) характеристику с наклоном X до пересечения со слоем t" в точке V. Тогда вдоль характеристики значение и" ⁺¹ выражается через и", например как.

Рис. 10.2. Пятиточечный шаблон Выражение (10.17) получено как аппроксимация уравнения (10.16) методом трапеций. Проводя ту или иную интерполяцию для нахождения значения и" но точкам слоя С" , получим различные разностные схемы для определения м'',^+| на данном шаблоне.

О физическом смысле условия Куранта. Пусть, а = xX/h — число Куранта. В случае X = const очевидно, что выбором т и h можно добиться о=1 или о = 2. В этом случае характеристика, проведенная через точку и" ⁺¹, попадет в узел разностной сетки, где значение м" _, (или и" _₂ соответственно) известно точно. Для однородного уравнения происходит перенос значения в точку и"⁺¹ вдоль характеристики. Если 0 < о < 2, то для определения значения и" приходится решать задачу интерполяции, а для, а > 2 — задачу экстраполяции по узлам сетки. Известно, что вторая задача, как правило, неустойчива.

Точку V назовем областью влияния дифференциального уравнения (10.15), а точки шаблона, по которым проводится интерполяция, — областью влияния разностного уравнения. Для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы область влияния дифференциальной задачи лежала внутри области влияния разностной.

Пространство неопределенных коэффициентов. Запишем разностную схему в виде.

где коэффициенты а_к будем искать из условий аппроксимации, раскладывая и" ⁺¹, и" ₊? в ряды Тейлора в окрестности точки (?", х_т). Оставляя свободными два коэффициента (например, ос ₂, ос₀), получаем условия аппроксимации порядка 0(х + h):

Примем свободные коэффициенты за координатные оси линейного пространства с евклидовой метрикой. Каждая точка этого пространства будет соответствовать разностной схеме 1-го порядка аппроксимации. Кроме того, можно выделить множество схем порядка 0(т + /г²):

и единственную на данном шаблоне схему 3-го порядка аппроксимации с порядком 0(х + /г³):

Остальные коэффициенты находятся с использованием формул (10.19) и (10.20).

Введем пространство коэффициентов (а_₂, «о) — Тогда любая точка в этом пространстве есть разностная схема с порядком аппроксимации 0(т + h). Прямая (10.20) определяет в пространстве множество схем с порядком 0(т + К¹) (рис. 10.3), на ней лежит единственная точка — схема с порядком аппроксимации 0(т + /г³). В пространстве коэффициентов на той же прямой должна лежать также и точка с порядком аппроксимации 0(т² + /г²).

Рис. 103. Область устойчивости в пространстве неопределенных коэффициентов и множество схем с положительной аппроксимацией (закрашено) Зафиксируем какое-либо число Куранта, например о = 0,5. Применим к схеме (10.17) спектральный признак устойчивости (Неймана). Тогда получится некоторая кривая, которая определяет границу устойчивости разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов.

Для схем 1-го порядка выпишем первое дифференциальное приближение (под первым дифференциальным приближением будем понимать дифференциальное уравнение, в котором сохраняются главные члены невязки):

Это уравнение уже зависит от сеточных параметров и можно ожидать, что оно моделирует разностную схему.

Можно также выделить множество таких схем, что а^> 0. Это монотонные схемы (точнее, схемы с положительной аппроксимацией по Фридрихсу) (закрашенный многоугольник на рис. 10.3). Среди монотонных схем можно найти схему с наименьшей ошибкой аппроксимации. Это точка многоугольника, которая при данном, а лежит ближе всего к прямой со схемами 2-го порядка аппроксимации.

Рассмотрим линейное одномерное уравнение переноса.

На выбранном шаблоне любая разностная схема, как указывалось выше, представляется с помощью неопределенных коэффициентов в виде.

Суммирование здесь ведется по всем точкам выбранного шаблона (III) разностной схемы.

В случае монотонной схемы можно оценить норму погрешности. Заметим, что погрешность v определяется тем же разностным уравнением (10.17), тогда.

В силу аппроксимации.

Отсюда следует, что монотонные разностные схемы всегда устойчивы. В общем случае можно рассматривать многослойные шаблоны для уравнения переноса (рис. 10.4):

и записывать условия порядка для аппроксимации соответствующего порядка:

Исключая два коэффициента из условий порядка, можно вместо пространства неопределенных коэффициентов {а^} перейти к пространству {б^}, размерность которого на два меньше, например:

где, конечно, точки (0; -1) и (0; 1) не включаются в суммирование. Условие устойчивости в пространстве неопределенных коэффициентов при использовании спектрального признака, как указывалось выше, имеет вид.

здесь q есть спектр оператора послойного перехода. Все собственные числа оператора могут быть оценены при использовании уравнения.

и дополнительного требования.

Рис. 10.4. Многослойный шаблон.

Основная гипотеза. Разностные схемы, которым в пространстве {а*}.

соответствуют близкие друг к другу точки (в смысле р = _{, а^) — (а₂, а₂))_у по своим свойствам также близки.

Основываясь на допущении гипотезы, можно строить гибридные разностные схемы (типа схемы Р. П. Федоренко), выбирая из семейств схем с разными свойствами «ближайшие» к схемам с другими свойствами. Например, среди схем 2-го порядка аппроксимации можно выбрать разностную схему, наиболее близкую к монотонным. Возможно ожидать, что такая схема будет давать наименьшие осцилляции на разрывах решений. Такие схемы (сеточно-характеристические методы) с успехом используются при решении сложных задач математической физики на протяжении 50 лет.

Расширяя шаблон, как и в случае пятиточечного шаблона, можно строить области схем высокого порядка аппроксимации, монотонные схемы (0) и т. д.

Монотонные разностные схемы в пространстве неопределенных коэффициентов занимают некий выпуклый многоугольник (или многогранник), вершины которого определяются довольно просто: это все возможные при данном числе Куранта, а трехточечные разностные схемы, причем для характеристики, проходящей через и" ⁺¹, одна точка схемы лежит выше (левее) характеристики, а другая — ниже (правее).

Метод построения разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов для квазилинейных систем уравнений гиперболического тина (к ним относятся системы уравнений механики сплошных сред, в частности газовой динамики, механики деформируемого твердого тела и т. п.) допускает обобщение и на многомерные случаи^[2]. Здесь же многомерные обобщения рассматриваться не будут. Они приводят к эффективным численным методам для нестационарных многомерных задач.

Исследовав схемы на устойчивость по спектральному признаку, получаем множество устойчивых схем, а потребовав выполнения условия а_к > 0 для всех точек шаблона, получаем множество схем с положительной аппроксимацией (монотонных схем). На рассматриваемом шаблоне устойчивые схемы существуют при 0 < ст < 2 (для с > 0).

Множество схем с положительной аппроксимацией не пересекается с множеством схем с порядком аппроксимации выше первого, как это следует из теоремы С. К. Годунова.

Первое дифференциальное приближение. Дисперсионная и диссипативная ошибки. Тот факт, что решение дифференциальной задачи и решение разностного уравнения принадлежат разным функциональным пространствам, порождает определенные трудности при теоретическом анализе свойств разностных схем. Поэтому для такого исследования возможно рассматривать разностные операторы в том же пространстве, считая, что разностные схемы удовлетворяются функциями непрерывного аргумента в каждой точке рассматриваемой области.

Обычно ограничиваются рассмотрением уравнений с оставшимися членами разложения в ряд Тейлора по т и h, порядок которых совпадает с порядком погрешности аппроксимации схемы. Получающиеся при этом уравнения называют первым дифференциальным приближением (ПДП).

Для схемы 1-го порядка (10.18) при выполнении условия (10.19) первым дифференциальным приближением будет.

где 8, = const.

Из уравнения (10.23) исключены члены со второй производной u" _t с использованием так называемой продолженной системы.

Иногда уравнение (10.23) называют П-формой первого дифференциального приближения.

При 8₍ > 0 уравнение (10.23) можно трактовать как присутствие в схеме некоторой диссипации (схемной вязкости). Подробнее о ней рассказано выше. Ее наличие проявляется в расчетах в виде размазывания точного решения, причем его интенсивность увеличивается при ухудшении аппроксимации (увеличении шага /?). В этом случае говорят, что ошибка схемы носит диссипативный характер.

Для более высокого (2-го) порядка ПДП имеет вид.

Уравнение (10.24) обладает дисперсией, т. е. разные пространственные гармоники разложения начального возмущения в ряд Фурье распространяются по сетке с разными скоростями. Говорят, что ошибка носит дисперсионный характер. Сеточная дисперсия легко получается, если искать частное решение последнего уравнения в специальном виде комплексной экспоненты: и = X (t)e^ikx.

Гибридные схемы. Численные расчеты по разностным схемам высокого порядка показывают, что осцилляции нефизического характера возникают в окрестности разрывов решения или его первой производной. В связи с этим возникает идея построения численного метода, имеющего высокий порядок аппроксимации на участках гладкого решения, в то время как в окрестности разрывов функций или их производных применяется монотонная схема (с положительной аппроксимацией) 1-го порядка. В соответствии с изложенным в литературе^{1 2} можно формализовать этот подход:

где al^ — коэффициенты первой схемы (высокого порядка аппроксимации), применяемой в области гладкого решения; а2_р — коэффициенты второй (монотонной) схемы; у — весовой коэффициент; вспомогательный параметр b характеризует гладкость решения (очевидно, что /; = 0 при и = const); k — коэффициент гибридности — целое число из диапазона 2 10.

Подробнее о современных методах численного решения уравнений в частных производных гиперболического типа можно прочитать в соответствующей литературе^[3][4].

• [1] Холодов А. С. О построении разностных схем с положительной аппроксимациейдля уравнений гиперболического типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1978. Т. 18. № 6. С. 1476—1492. Изложение материала в этом параграфеследует работе: Магомедов М.-К. М., Холодов А. С. Сеточно-характеристические численныеметоды. М.: Наука, 1988.
• [2] Заинтересованный читатель может найти подробное описание в указанной монографии М.-К. М. Магомедова и А. С. Холодова.
• [3] Магомедов М.-К. М., Холодов А. С. Сеточно-характеристические численные методы;Петров И. Б. у Холодов А. С. О регуляризации разрывных численных решений уравненийгиперболического типа // Журнал вычислительной математики и математической физики.1984. Т. 24. № 8. С. 1172−1188.
• [4] Куликовский А. Г., Погорелое Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численногорешения гиперболических систем уравнений. 2-е изд., испр. и доп. М.: Физматлит, 2012.