Кратчайший путь. 
Занимательная геометрия

В заключение рассмотрим задачу на «максимум и минимум», разрешаемую крайне простым геометрическим построением.

ЗАДАЧА У берега реки надо построить водонапорную башню, из которой вода доставлялась бы по трубам в селения А и В (рис. 189).

Рис. 189. К задаче о водонапорной башне.

В какой точке нужно ее соорудить, чтобы общая длина труб от башни до обоих селений была наименьшей?

РЕШЕНИЕ Задача сводится к отысканию кратчайшего пути от А к берегу и затем к В.

Допустим, что искомый путь есть АСВ (рис. 190). Перегнем чертеж по CN. Получим точку В'. Если АСВ есть кратчайший путь, то, так как СВ'=СВ, путь АСВ' должен быть короче всякого иного (например, ADB'). Значит, для нахождения кратчайшего пути нужно найти лишь точку С пересечения прямой АВ' с линией берега. Тогда, соединив С и В, найдем обе части кратчайшего пути от А до В.

Проведя в точке С перпендикуляр к CN, легко видеть, что углы АСР и ВСР, составляемые обеими частями кратчайшего пути с этим перпендикуляром, равны между собою (/.АСР = ZB’CQ = ZBCP).

Рис. 190. Геометрическое решение задачи о выборе кратчайшего пути.

Таков, как известно, закон следования светового луча, когда он отражается от зеркала: угол падения равен углу отражения. Отсюда следует, что световой луч при отражении избирает кратчайший путь, — вывод, который был известен еще древнему физику и геометру Герону Александрийскому две тысячи лет назад.