Корни Xi, Х2 комплексные сопряженные

Если корни Xi и Хг комплексные сопряженные, то при действительных х и у имеем комплексные сопряженные ?, т). Однако, вводя еще одно промежуточное преобразование, можно и в этом случае свести рассмотрение к действительному линейному однородному преобразованию. Положим.

где а.1,61 и u, v — действительные величины. Можно показать, что преобразование от х, у к u, v является при допущенных предположениях действительным, линейным, однородным, с детерминантом, отличным от нуля. В силу уравнений (5.7), (5.10) имеем.

откуда

Разделив второе уравнение на первое, получим.

которое легче интегрируется, если перейти к полярной системе координат (г, ер). После подстановки и = rcoscp, v = г sin ср получим , откуда

Таким образом, на фазовой плоскости u, v мы имеем дело с семейством логарифмических спиралей, каждая из которых имеет асимптотическую точку в начале координат. Особая точка, которая является асимптотической точкой всех интегральных кривых, имеющих вид спиралей, вложенных друг в друга, называется фокусом (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Фазовый портрет системы в окрестности особой точки типа «фокус» на плоскости координат и, v.

Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям. Умножив первое уравнение системы (5.11) на и, а второе на d и сложив полученные уравнения, имеем.

Пусть ai < 0 (а = ЫеХ^г). Изображающая точка тогда непрерывно приближается к началу координат, не достигая его в конечное время. Это означает, что фазовые траектории представляют собой скручивающиеся спирали и соответствуют затухающим колебаниям переменных. Это — устойчивый фокус.

В случае устойчивого фокуса, как и в случае устойчивого узла, выполнено не только условие Ляпунова, но и более жесткое требование асимптотической устойчивости (см. 4.1). Именно при любых начальных отклонениях система по прошествии времени вернется как угодно близко к положению равновесия.

Если а > 0, то изображающая точка удаляется от начала координат, и мы имеем дело с неустойчивым фокусом. При переходе от плоскости u, v к фазовой плоскости х, у спирали также останутся спиралями, однако будут деформированы.

При ai — 0 фазовыми траекториями на плоскости u, v будут окружности и² + v² = const, которым на плоскости х, у соответствуют эллипсы:

т. е. при а = 0 через особую точку х = 0, у = 0 не проходит ни одна интегральная кривая. Такая изолированная особая точка, вблизи которой интегральные кривые представляют собой замкнутые кривые, в частности эллипсы, вложенные друг в друга и охватывающие особую точку, называется центром.

Рис. 5.7. Типы фазовых портретов в окрестности стационарного состояния для системы линейных уравнений (5.4).

Таким образом, мы рассмотрели шесть типов состояния равновесия в зависимости от характера корней характеристического уравнения (5.6). Вид фазовых траекторий на плоскости х, у для этих шести случаев изображен на рис. 5.7. Эти типы состояния равновесия относятся к случаям, когда корни характеристического уравнения (5.6) не обращаются в нуль и не совпадают между собой.

Пять типов состояния равновесия грубые, их характер не изменяется при достаточно малых изменениях правых частей уравнений (5.4). При этом малыми должны быть изменения не только правых частей, но и их производных первого порядка. Шестое состояние равновесия — центр — негрубое. При малых изменениях параметров правой части уравнений он переходит в устойчивый или неустойчивый фокус.